如果把球放在一个平面上，那么球与平面的接触的面积是不是无限小？_ZNDS问答

kudoathrun

球是绝对坚硬的。

这个是当然的。
如果球面与平面是相切的，那么球面与平面相交在一个点。而一个点是没有面积的，所以面积不是无限小，而是严格等于零。
那么问题来了，一个球放在平面上，所以面积等于零，那么压强就等于无限大——因为压强等于压力除以面积。而无限大的东西是不合理的，因此，这个说法似乎存在物理上的矛盾。
因此，我们要搞清楚你问的到底是物理问题还是数学问题。
如果是数学问题，那么球与平面的接触的面积是无限小。
如果是物理问题，那么球与平面的接触的面积不可能等于零，至少应该是一个有限值，因为要考虑到压强不发散——因此，这个球体必须是会变形的。
著名的科学段子手毕导曾经论证过薯片掉到地上为什么还可以继续吃。原因也很简单，因为薯片是一个曲面，如果与地面相切，那么切线是一条曲线，而曲线的面积也等于零，所以薯片其实不会变脏。这个就是数学论证。
但如果考虑物理论证，薯片掉地上肯定会有形变，接触面积一定不是零，因此有一部分接触面积是变脏了——不能继续吃了。
因此，在你的提问中，你提出“球是绝对坚硬的”，这个假设其实不是一个合理的假设，而是一个数学假设。讨论现实问题我们最好不要使用数学假设。
我想，这个问题是很简单的。一定要搞清楚物理与数学的区别。

把绝对坚硬的球放在一个平面上，意味着球与平面是刚性的，不会发生形变，依照常规认知，球与平面的接触面积当然是无限小。这样，一个极其棘手的问题飘然而至。
与无理数根号2，π，e 相比，无限小是一个说不清，道不明，令数学家们无限伤脑，在微积分早期就倍受争议的问题。
牛顿为了构建微积分的基础，提出无限小的概念，被大主教贝克莱讥讽为一个即是零，又不是零的幽灵一般的数。例如  求函数y=x^2的导数
Iimx→0，  dx²/dx  =limx→0  2xdx+(dx)² /dx  (dx≠0)    =limx→0，          2ⅹ+dx  =2x    (dx=0)
可以看出无限小dx出现于分母中时不为零，最后一步取导时仍然取值为零。为了修补这个缺陷，一个世纪后，柯西等人提出极限概念，认为无限小是变量变化时的一种运动趋势，而不是一个确切的数。然而在处理0/0型问题时，不得不把无限小做为一个数进行无穷小量的比较。所谓量，是指数量，无论怎样小，仍是一个数。这就造成无限小即是运动趋势又是很小的数，这就是极限不易理解的根源。
无穷大量的倒数是无穷小量，那么无穷大量与无穷小量之积是多少？ ∞☆1/∞ = 1 如果把无限小看做是零，那么零与任何数之积仍为零。1/∞☆∞ = 0
前者两个运动趋势之积等于1，后者两个无法确定的量之积等于零，实在超出了理解能力。
实际上，绝对的零并不存在，即便是没有宏观物体的虛空，也有场的存在，也有时空的各种属性。零是一个相对的微观量。就像是海平面相比于山峰为零，相比于峡谷则不为零。60度的水相比于沸水为冷，相比于冰水为热。
所以，一个微观量因检测不出它的存在，如小于普朗克常数的量，相比于宏观量可以忽略不计。在此意义上我们计算y=x²的导数。
Y′=[(x+θ)²一x²]/θ=(2xθ+θ²)/θ
=2x+θ=2x
我们求的导数是宏观值，所以把微观数θ忽略为零。
微观数等效为零的依据:
设直角三角形中位线的长度为x,与中位线紧密相邻的上下线段的长度分别为x-θ，x+θ，与中位线长度相比，ⅹ+θ-x=θ， x一(x一θ)=θ
θ为零时，三角形斜边光滑，θ不为零，斜边出现凹点或突起。因此，从宏观角度观察，微观量可以等效为零。
数有上下界的理想实验
取数轴与无限长时针交于m点，夹角为α，时针转动，m点沿数轴移动，.角a变小，如果数轴长度无限，时针与数轴永无分离，夹角无限变小，与事实不符，故数有最大与最小值。春草
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☆答案很明确，接触面不是无限小！
（1）原因更简单，题目只指明球是绝对坚硬的，但没有指明平面是由绝对坚硬的材料构成的。因此，不能认定平面是绝对坚硬材料。
我们知道，一只蚂蚁趴在铁轨上，铁轨都会凹陷，虽然十分微小。硬球，必然使平面产生变形，从而，使得接触面成为较大的曲面。
（2）坚硬也变形
描述中给出球绝对坚硬，但没有人能准确说出什么叫做绝对坚硬，找不到其准确的定义，这很容易引起争论，骨头是不是绝对坚硬？钢铁是不是绝对坚硬？金刚石是不是绝对坚硬？不同的人，有不同的理解，或许，最后一个应该算吧，有比钻石更硬的吗？但只要是实际存在的两个物体，无论多硬，相互挤压之后，就会变形，接触之处，就是一个面。从压强公或p=F/S可以看出，接触面S若为无穷小时，只要F不为零，p应为无穷大，实际的物体，是无法承受无穷大压强的。因此，即便平面与球均是绝对坚硬，相还有挤压时，仍只能认定接触面不是无穷小。
（3）接触面无穷小的条件：
仅在理想状态成立
有人问，球放平面上，有没有可能接触面无穷小呢？答案是：想像状态下，有可能

分两种情况讨论
第一，球与平面间仅是接触关系，但无挤压的力，当然，这时的"球放在平面上"，"放在"两字，实现是相当困难的，必须在完全失重的环境中操作。本人认为，这不符合提问者的本意。
第二，球及平面均为刚体
刚体，也叫绝对钢体，是一种理想化物理模型，现实生活中不存在。刚体是刚性物体，绝对坚硬，但与前面提到的模糊概念不同，它有准确而请晰的定义，根据其定义可知，无论它受到多大的弹力，压，拉，甚至扭转，剪切，它都不会有丝毫的变形，构成刚体的微粒之间的相对位置，始终保持固定不变，刚体自身，能够承受无穷大的压强。
从定义可以看出，刚体圆球与刚体平面的接触，只能是面积无限小的点接触，无法压成面，否则，就不能称为刚体。
当然，这不符合实际。但模型为科学研究带来了极大的便利，可以这么说，正因为建立了许多的模型，才有了今天的科技成果。
☆结束语，准确的理解文字的含义，是分析问题的基础。

谢谢邀请。
对于这个问题要一分为二的看。哪两个方面呢？理论上的和实际上的。我猜测题主问的是理论上的，因为他说球比较坚硬，但是说法有点不够准确。

理论上，如果球是刚体，而接触面也是刚体的话，接触点就是无穷小。当然这是理想化的模型，现实生活中找不到。我们可以想象在茫茫的宇宙空间，一个刚体球和一个平面接触，它们之间没有任何压力，仅仅是接触，此时接触面积就无限小。

事实上，当一个球放在平面上，由于重力作用的影响，球和平面都会发生形变，他们直接接触的面积就不会为无限小。只是如果球和平面都比较坚硬的话，它们之间的微小形变不易察觉罢了。对于这个微小形变我们可以通过放大法来观察。

以上是我个人观点，希望能够帮到你。也希望朋友们批评指正，共同进步。

无限小和0是两个概念！另外，球在平面上，通常理解为求球与平面相切时的位置。而不是理解为球在平面的上方！
这里，题干的“接触”也极不数学化，你要说：球与平面相切，切点的面积为0，不会有任何问题！
证明如下：假设平面与球有公共点，那么这样的点既在平面上又在球上，那就是平面与球的交线圆上（可解析法证之），设球的方程为x²＋y²＋z²＝R²，作平面z＝h，则，
x²＋y²＝（R²－h²），h→R，（x，y）→P（0，0），即lim（x，y，h）＝（0，0，h），（h→R），S（P）＝0.
有人可能想到，这个不是显然的吗？需要证明吗？
问题来了，在n维单形中，这些还是几何或物理直观吗？不证明行吗？

从两种方面考虑：理想状态下，接触面是一个点，面积等于0；而现实状态下，接触面积不为零，具体面积要视物体的材质而定。

这边就想到一个更有趣的例子，我以前写过一篇关于托里拆利小号的文章：

我们先想象一下函数 y=1/x 的图像，然后将x≥1 的部分绕着 x 轴转一圈，图像在下面（这个很好想象的）

图像长得像一个小号

之后，我们队这个小号的内表面积和内容积做一个计算

我们发现，它的内容积是π，但是内表面积居然是无穷大。

小号里面涂油漆

当然了这种现象也只在数学中存在，因为我们完全忽略了现实状态下的厚度。
新年快乐~期待您的点赞和精彩点评！

首先，先从辩证法来分析这个问题，这是我们应该有的正确的方法论。问题全面吗？整体吗？答案唯一吗？显然，这个题干假设不充分，答题者自己可以添加条件从而得出不同的答案。很多人只学数理化，而不重视马列毛，从这个问题就可以看出多少人在研究方法上没有系统的方法论作为指引。虽是一个简单的问题，不仅是要讨论答案，更需要学习的我想应该是对一道题目思考的方法与态度。
从题中的“放在”二字，给人一种真实的物理世界，而不是纯数学分析世界。假设的球完全坚硬，但没有假设平面完全坚硬。只能自己在现实和理论中分别分析。您更可以说这个世界上就不可能存在一个完全的球体，这就是诡辩了。
现实物理范畴答案是：不是无限小。球放在平面上，就客观说明重力的存在。有重力，球和平面就一定会有一个不等于无限小的力的相互作用。有力的相互作用就一定会有形变，平面适应球的形变或者球适应平面的形变。所以真实世界不可能无限小。真实世界也不存在无限小的东西。极限本来就是数学分析用的东西，不能当作物理范畴的结果。现实中无限小是不可能的。
接触面无限小只有存在于理论分析，或者假设没有任何形变发生，或着悬浮接触于一点，相当于球接触于完全光滑的墙面。只如果你学过高数，就知道这个无限小是多么得严谨。lim可不是异想天开，必须有假设做前提支撑。
那我现在抛开物理现实范畴，把假设加上回到数学范畴再讨论一下这个问题。答案是无限小。那么有人说面积是零，那我们就来讨论一下到底是零还是无限小。先看一个问题：一个点的面积是零还是无穷小？答案是无穷小而不是零。在一维空间，点的长度也是无穷小而不是零。因为线是由点组成的，如果点的长度是零，无穷大乘以0还是零，如何形成线？在二维空间，同理，点的面积是无穷小而不是零。

要弄清这个问题，必须先弄清什么是无穷小。就一元函数y=f（x）而言，若当x→∞或x→a时，limf（x）=0，则称y=f（x）是一个当x→∞或x→a时的无穷小。由此可知，无穷小是一个极限为0的变量，常数中哪怕是绝对值很小很小的一个数也不会是一个无穷小，只有0是一个特殊的无穷小（因为lim0≡0）。设一个球体的重量为x，当球体的直径以及球体与平面的材料一定时，球体压在平面上，球体与平面发生形变而形成的接触面的面积y显然是x的函数f（x）。其中y显然是一个大于0的常数，而不是一个无穷小。而当x无限变小即x→0时，y→0，这时y是一个无穷小。特别地，当球体和平面都是物理学上的刚体（不会产生形变）时，y≡0，这时y是一个无穷小。

这是悟空平台少见的很有內涵的问题。
这个问题可抽象化理解为球与平面的接触问题，在应用科学研究范畴里通常采用《数学物理方法》进行研究。数理方法讲究的是充分必要条件。我们从纯数学到物理再到现实这个过程简要分析。
如果从纯数学方面出发，可抽象化为光滑球与光滑面的接触，不考虑其各自的物理因素，球与平面的接触就是一个点，可以理解为无限趋于0而又不为0的一个点。
在此基础上，如放宽一点，考虑物质的物理尺度，如原子尺度，其他物理因素仍不考虑，只考虑表面由原子组成，则最理想的最小接触面就是分别代表球与代表面的两个原子的接触。
在此基础上，再放宽一点，为方便研究，考虑平面与重力加速度方向垂直，并考虑球与平面同材质，如钢材，则球体的总质量就可确定，球与平面的接触就不会是个点，而是有一定的面积。这个面积大小与材料的物理性质相关，如弹性等。
再往现实拓展，如，球面、平面的光滑度，两者不同材质，等等，研究下去会有我们想知道的结果。
回到主题。球与平面的接触，理想状态是个点;现实状况是:有相互直接作用力的条件下，接触具有一定的面积。。。。
欢迎大家伙共同讨论。

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如果把球放在一个平面上，那么球与平面的接触的面积是不是无限小？

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