临界指数
关于临界指数的实验和计算是研究相变的重要关注点，但由于相变过程中的发散行为，相关的测量、计算都极其困难。临界指数的一大优点在于没有量纲(dimensionless)，相变过程中的一些物理量在临界点附近可以通过幂指数来描述，这一特点已经在大量实验和数值实验中得到验证。
临界指数计算和实验的困案
临界指数的测量的难点在于为了确定指数，我们要在临界点 t=\frac{T-T_c}{T_c}\to 0 附近做一大堆测量，实际实验中的限制因素包括：
- 如果我们测量的物理量在 T_c 趋于 0 ,实验仪器的噪声会淹没我们的测量物理量。
- 如果我们测量的物理量在 T_c 趋于 \infty ，那么测量仪器的测量范围就不够了，结果也会被扭曲。
- 即使我们可以准确测量上述的物理量，我们能否稳定的控制样品所处的温度在 T_c 附近不发生太大波动；特别是我们并不知道 T_c 有多大的时候，当我们做数据拟合的时候， T_c 和我们所测的物理量有很强的关联，最后拟合得到的不确定性可能上升一两个数量级。
- 即使我们的温度也稳定了，我们测量的物理量在测量过程中也会发生剧烈的变化，这就要求我们多次测量。如果波动大小大于其本身应该的大小，那么我们理论上需要无数次的测量，才能得到一台可以用的结果。
- 另外理论上发散行为只有在无限大均匀的样品中才存在，如果样品存在缺陷、边界，最后的结果也不会很准确。
上述的问题并不能在目前的实验中得到很好的解决，特别是最后一条，如果我们想在数值上验证发散行为，我们需要无穷大的计算资源去得到发散结果，目前的算法也没有办法解决。
交叉(Crossover)
当我们远离 T_c ，我们可能依然处在一台 Landau 理论适用的情况，这时我们可能会错误的测量临界指数的在平均场理论下的数值。而当我们接近 T_c 的时候，我们可能会经过一些列交叉区域，这些区域有不同的临界指数大小，而真正的临界指数只有当我们无限接近 T_c 时才能测量。
在一些准低维材料中，比如二维依星晶格，当我们远离 T_c 的时候，我们可能会观察到二维材料的依星指数。但由于二维材料层与层之间的相互作用，不管他们有多弱，在临界点附近整个系统的性质都会和三维的一样，垂直方向的关联长度 \xi_\perp 和层与层之间间距相当。这一混合称做维度交叉(dimensional crossover)
另一种交叉是由于有序参数对称性造成的交叉。比如在海森堡模型中，如果由于相互作用导致相邻自旋在 z 方向上还有一台额外的相互作用，J[S_i^xS_j^x+S_i^yS_j^y+(1+\alpha)S_i^zS_j^z] ，如果 \alpha>0 （ \alpha 很小），在远离临界点时，系统的临界参数可以由无额外作用的海森堡模型来描述，而当温度接近 T_c 的时候，由于关联长度增加，最后的临界参数可能会更接近依星模型。
通常来说，系统中的一些弱相互作用或者弱对称性缺失，都会在临界点附近被无限放大。这些都会在实际测量过程中带来问题。
标度理论
标度理论是关于临界指数之间所存在的数学关系的理论。我们首先定义同质函数（homogeneous functions）：
一台同质函数 f(x) 是指对于任意 x ， \lambda ，我们总可以找到一台标度函数 g(\lambda) 使得 f(\lambda x)=g(\lambda)f(x) 。我们可以严格证明一台同质函数具有如下形式
f(\lambda x)=\lambda^pf(x) 或者是 f(\lambda^{-p} x)=\lambda f(x)
另外同质函数也不仅限于但变量函数，对于多变量函数比如 f(x,y) 我们有
f(\lambda^{a_x}x,\lambda^{a_y}y)=\lambda f(x,y)
我们回到相变，在临界点附近，关于我们研究的最重要两个物理量为约化温度 t=\frac{T-T_c}{T_c} 以及有序参数 h ，我们做出一台假设：
在临界点附近系统的自由能密度的奇异值部分为 t 和 h 的同质函数，即
f(\lambda^{a_t}t,\lambda^{a_h}h)=\lambda f(t,h)
上述只是一台假设，但在很多理论中可以得到验证（习惯物理学家的思路就好），比如Landau的自由能
f=at\phi^2+B\phi^4-h\phi
在临界点附近就有
f(\lambda^{1/2}t,\lambda^{3/4}h)=\lambda f(t,h)
证明如下：
在临界点附近有 \partial f/ \partial \phi =0
所以有
2at\phi + 4B\phi^3-h=0
如果我们令 \tilde{h}=\lambda^{3/4}h , \tilde{t}=\lambda^{1/2}t ，以及 \tilde{\phi}=\lambda^{1/4}\phi （这一项是为了得到结论凑出来的）代入上式可得
2a\tilde{t}\tilde{\phi}+4B\tilde{\phi}^3-\tilde{h}=\lambda^{3/4}(2at\phi+4B\phi^3-h)|_{T\to T_c}=0
所以有
f(\tilde{t},\tilde{h})=a\tilde t\tilde \phi^2+B\tilde \phi^4-\tilde h\tilde \phi=\lambda f(t,h)
临界指数之间的关系
为了得到临界指数之间的关系，我们只需记住 \phi = - \partial f/\partial h
\lambda^{a_h}\phi(\lambda^{a_t}t,\lambda^{a_h}h)=\lambda \phi (t,h)
临界指数 \beta 表示有序参数在 h=0 时候的值，在这一区域我们有
\lambda^{a_h-1}\phi(\lambda^{a_t}t,0)=\phi (t,0)
我们令 \lambda = (-1/t)^{1/a_t} 然后有
(-t)^{\frac{1-a_h}{a_t}}\phi(-1,0)=\phi(t,0)
这样有序参数和约化温度 -t 之间就有一台指数关系，我们可以得到
\beta = \frac{1-a_h}{a_t}h
临界指数 \delta 表示 t =0 时的有序参数，然后我们有
\lambda^{a_h-1}\phi(0,\lambda^{a_h}h)=\phi (0,h)
我们令 \lambda = h^{-1/a_h} 然后我们有
h^{\frac{1-a_h}{a_h}}\phi(0,1)=\phi(0,h)
然后我们就有 \delta = \frac{a_h}{1-a_h}
另外是和磁感率 \chi = dm/dh 有关的临界指数 \gamma
\lambda^{2a_h-1}\chi(\lambda^{a_t}t,0)=\chi(t,0)
在 T\to T_c 时我们选择 \lambda=(-1/t)^{1/a_t} 然后我们有
(-t)^{\frac{1-2a_h}{a_t}}\chi(-1,0)=\chi(t,0)
所以我们有 \gamma = \frac{2a_h-1}{a_t}
综上我们有
\gamma = \beta(\delta -1)
最后是关于热容 C_V = -T(\partial^2 f/\partial T^2) 的参数 \alpha 我们有
\lambda^{2a_t}C_V(\lambda^{a_t}t,\lambda^{a_h}h)=\lambda C_V(t,h)
在 h=0 我们令 \lambda = |-t|^{-1/a_t} 然后有
\alpha = 2-\frac{1}{a_t}
最后我们有 \alpha + \beta(\delta+1)=2 和 \alpha + 2\beta + \gamma =2 两个关系式。
标度状态函数
有了标度理论，我们就有了临界指数在 T\to T_c 时的一定约束关系，这样一来一些热平衡量（自由能，有序参数，热容...）就可以被简化为 t 或者 h 的单变量函数，当然，可以用单变量函数描述是有一定范围的，越接近临界点单变量函数越有效，因此“有效性”可以作为距离临界点“距离”的描述。
比如在
\lambda^{a_h-1}\phi(\lambda^{a_t}t,\lambda^{a_h}h)=\phi (t,h)
我们令 \lambda = |t|^{-1/a_t}
然后我们有
\frac{\phi(t,h)}{|t|^\beta}=\phi\big(\frac{t}{|t|},\frac{h}{|t|^{\beta\delta}}\big)
我们定义一台新的标度有序参数(scaled order parameter) \tilde{\phi}=\phi(t,h)|t|^{-\beta} 和标度场(scaled field) \tilde{h}=h|t|^{-\beta\delta}
在这一定义里， \tilde{\phi}=\mathcal{F}(\tilde{h}) 由 \tilde{h} 唯一确定（ \mathcal{F}(\tilde{h}) 在温度大于 T_c 和小于 T_c 需要分开讨论）。
在实验中，我们通常会在固定温度下测量 M(h) 去得到不同 t 下的一些列等温线。根据我们上面的讨论，当 t\to0 的时候，所有的等温线要趋于同一条，这一现象也在实验中得到验证（如下）
超标度理论(Hyperscaling)
自由能
我们假设，在相变点附近，波动会导致系统的自由能会达到一台奇异值，如果系统的关联长度在临界点附近为 \xi ，那么系统总共有 V/\xi^d 个关联区域（ d 是系统的维度），这些区域贡献 k_BT 个自由能，因此在临界点附近的自由能为
F\sim k_BT_cV\xi^{-d}
如果没有外场 h=0 ， \xi\sim t^{dv} = t^{2-\alpha} ，在标度理论中 a_t = \frac{1}{dv} 以及 a_h = \beta \delta a_t = \frac{\beta \delta}{dv} = \frac{\Delta}{dv} （其中 \Delta = \beta +\gamma = \beta \delta = \frac{a_h}{a_t} ），这样我们就可以有给出一套临界指数之间的新的关系，这套关系和系统的维度以及指数 v 有关，这一关系我们叫做超标度关系，比如
2- \alpha = \gamma + 2\beta = \beta(\delta + 1)=dv
我们再回到朗道理论，由于朗道理论认为系统的自由能是由有序参数的平均值驱动的（波动是被忽略的），因此两个理论必然有不一样的地方。比如在朗道理论中， \alpha 是与维度无关的，而这一结论在系统维度 d\leq4 的时候是不成立的。实际上在高维度下( d>3 )系统自由能的驱动主要来自平均值，也就是朗道理论适用的时候，而当 d\leq3 的手，超标度理论就比较适用。实际上 d=4 是一台分界点，两个理论给出的结论相同。
d>3的情况随后在量子相变里可以看到 在超标度理论下，自由能的同质函数可以写成
f(t,h) = \lambda^{-d}f(\lambda^{1/v}t,\lambda^{\Delta/v}h)
关联长度也可以写作一台同质函数
\xi(t,h)=\lambda \xi(\lambda^{1/v}t,\lambda^{\Delta/v}h)
关联函数和易感性
在依星模型的波动中，结构因子 \mathcal{S}(q) 的形状在接近临界点时保持不变，只有振幅和大小发生变化。由于易感性 \chi\sim \mathcal{S}(q) 我们可以写作如下形式
\chi(q,t,h)=\chi(t,h)\Chi(q\xi(t,h))
其中 \Chi 是正交化后的单变量函数形状， \Chi(0)=1 ， \chi(t,h) 是均一的易感性。根据超标度理论下的自由能公式( f(t,h) = \lambda^{-d}f(\lambda^{1/v}t,\lambda^{\Delta/v}h) ，两边微分两次)以及临界指数关系( 2- \alpha = \gamma + 2\beta = \beta(\delta + 1)=dv )，我们有
\chi(t,h)=\lambda^{\gamma/v}\chi(\lambda^{1/v}t,\lambda^{\Delta/v}h)
再考虑到 q 我们有
\chi(q,t,h)=\lambda^{\gamma/v}\chi(\lambda q,\lambda^{1/v}t,\lambda^{\Delta/v}h)
如果没有外场的话
\chi(q,t,0)=q^{-\gamma/v}\mathcal{F}(qt^{-v})
其中 \mathcal{F} 是一台单变量函数。如果我们连温度也不考虑了( t=0 )，我们有
\chi(q,0,0)\propto q^{-\gamma/v}
另一方面我们考虑到易感性的相关临界参数为 \eta
\chi(q,0,0)\propto q^{\eta - 2}
因此我们有另一台重要的关系
v(2-\eta)=\gamma
数值实验
上述的关系和实际有多符合呢？我们给出一些数值实验的验证
Palisetto and Vicari, Phys. Reports 368,549 (2002)
普适性(Universality)
实际系统所拥有的有序参数远远不止一台，但如果对于一些系统或一些哈密顿量下，它们的物理性质在相变 T\to T_c 时都有着相同的临界指数，具有相似的相变性质，我们称这些系统够成某一类普适类(universality class)。在自然界中，其实普适类的数量并不多，在同一类普适类下只需要一台很简单的哈密顿量就可以概括相变的所有性质。这一结论比较经验，不过在重正化群的理论下可以得到更严格的证明。在上述结论下，系统的相变只取决于以下三个要素：
- 相互作用是否是近程的
- 系统的维度 d
- 相变过程中的自发性对称破坏（破损坏哪些对称性，如何破坏的）
上述结论的一台直接应用是，在相变点附近（只要足够近），任何具有较低点对称性的铁磁材料、反铁磁材料，都可以用 Ising 模型来描述。同样的，任何一台三位材料并且打破了 SO(2) 对称性的相变，不管是形成了电荷密度波或者是 He^4 超流体，最后都可以用 XY 模型去描述。
另外，在同一普适类下，自由能密度 f(t,h) 变化也是相同的个。结果是，标度函数、标度状态以及管理那函数的标度表达都是一样的。
临界动力(Critical dynamics)
到目前为止我们并没有考虑相位随时间的变化。实际上我们可以想象如果系统的关联长度越大，那么发生变化的时间也越长。我们想象一台大小为 x 的样品，在很大 x 的情况下系统的波动时间
\tau \propto x^{-z}
其中 z 时所谓的动力学指数，典型的波动大小为关联长度 \xi ，所以我们有 \omega = \tau^{-1}\propto \xi^z 并且在临界点附近趋于 0 ，这一现象称之为临界减速(critical slowing down)。
动力指数并不是普适的，而是取决于哈密顿量，比如在海森堡铁磁模型中， z = 2.5 ，而在反铁磁中 z=1.5 ，虽然他们两个属于同一普适类（这是由于自旋波耗散关系的不同导致的）。
当然，动力学指数在实际研究中意义不大，这是因为不同频率波动贡献的自由能都相同(能量均分定理)。
量子相变
相变的量子性质其实并不影响相变本身的性质。比如在量子波动中，在 T=0 的时候一台频率为 \omega 的量子谐振子具有大小为 \hbar/m\omega 的零点波动(zero-point fluctuation)。但是这一波动只要温度稍稍升高就会被破坏掉（由温度引起的波动 k_BT/(m\omega^2) ，一般来讲 \hbar \omega << k_BT ），所以在一般相变的时候我们也不太需要考虑量子效应。
量子临界点
如果 T_c=0 ，并且由一些外场 P 需要达到 P_c 才能引起相变的情况下，量子的零点波动就不大能忽略了。这时在 T=0 附近的波动就由量子波动驱动被称作量子相变(quantum fluctuation)，这个时候我们衡量接近量子相变点的指标就不再是约化温度 t 了而是由外场强度 p = P-P_c 表示，我们可以引入关于 p 的临界指标比如 \phi \propto (-p)^{\beta} , \xi \propto |p|^{-v} 等等。
在考虑量子相变的时候我们需要考虑系统的基态能量 \hbar \omega\sim\xi^{-z} ，最后的自由能有
F \sim (k_BT+C\xi^{-z})V\xi^{-d}
( C 是我们故意引入的一台常数)
如果 T 稍稍大于 0 ，后面那一项即可趋于 0 ，回到正常的相变。如果 T=0 ，第一项消失。关于量子相变的自由能我们可以写作
f(p,h) = \lambda^{-(d+z)}f(\lambda^{1/v}p,\lambda^{\Delta/v}h)
量子相变的性质和非量子的或是有很大差别的，最重要的是动力指数 z 进入到了最后的标度函数里，因此，相应的临界指数关系也会发生变化，比如量子的超标度关系就有
2-\alpha = \gamma + 2\beta = \beta(\delta + 1) = (d + z)v
上述结论表示系统的维度似乎被提高了。根据我们前面在朗道理论和波动理论的讨论中我们可以看出，针对量子相变如果 d_{eff} = d+ z>3 的时候香槟的规律可以用朗道平均场理论来解
有限温度下的量子标度
当然，没有实验能达到接近 T=0 ，另一方面，温度可以看作距离临界点的距离。我们可以延伸标度理论，假象对于量子相变，关联长度 \xi(p,h,T) 是三个变量的同质函数，因此最后我们有
f(p,h,T)=\lambda^{-(d+z)}f(\lambda^{1/v}p,\lambda^{\Delta/v}h,\lambda^zT)
( T=0 我们就回到了上一小节讨论的自由能)
典型的相变图
在 P=P_c , T=T_c 的时候，量子标度理论开始适用。在没有外场的情况下 h=0
\xi(p,T) = T^{-\gamma/zv}\mathcal{F}\bigg(\frac{p^{zv}}{T}\bigg)
左图：T&amp;amp;amp;gt;0时的有序状态的热平衡相位；右图： 只有在T=0 时才存在有序状态（红线）的热平衡相位图。
在实验中，系统或是有很小的 T_c ，并且在 T_c 下存在一定的有序状态(非量子导致的，即我们最初讨论的经典有序状态)，而这个 T_c 也和外场的大小 P 高度关联。有序的相位只在一定温度范围内存在，并且和无序相位由蓝色实线所分开，在蓝色实现(相变点附近)附近的阴影区域属于经典的临界波动区域，在这一区域系统的的临界指数服从经典的标度理论。
关于 \xi 的发散行为都源自单变量函数 \mathcal{F}(p^{zv}/T) ，所以我们有居里温度 T_c\propto p^{zv} ；量子相变只存在在一定的区域，其和经典的分界线由上图虚线所分开。该区域我们称做量子临界区域(quantum criticality)，温度越低这一区域会越宽(另外这一区域其实在高温的时候也是存在的就是太窄了)。由于 p 很小，有关的能量尺度就是温度本身了。在这一区域，所有的系统性质都由量子临界指数确定，比如在 p = 0 ， h=0 的情况下，我们可以得到
f(T)\propto T^{1+d/z}
以及
C_V\propto T^{d/z}
在一维系统中，还有一种很常见的情况就是整个系统并不存在热平衡导致的有序状态，而只有在 T=0 的时候才存在一台有序的量子临界区域，如上图右图所示。 |
