首先先指出题主论述的一台问题，题主论述中说：
首先取范围(0,1),那么对于任意一台无理数w来说，我可以保留它的一位小数得到有理数y1，保留两位小数得到有理数y2…如此下去对于任意给定的一台无理数都能创造无数个有理数，从这个角度来说是有理数更多的。 这一论证是不对的，因为虽然每一台无理数按这一方法都可以构造无数个有理数，但你并不能保证每两个不同的无理数构造出的有理数是不同的。实际上这个论断只能说明有理数的个数是无限的。
回到问题本身，实际上这是一台很好的问题，因为要回答这一问题，我们必须先说明“多”是一台什么样的概念。
题主的论述中实际上已经尝试回答了这个问题，即：
那么任意一台给定的有理数都能在此基础上创造无数个无理数，那么从这个角度来说，无理数的数量更多。 这一论断实际上是想说明，如果我有一台从有理数到无理数的单射，即对于每一台有理数我可以从很多个无理数中选择一台与之对应，那么我就可以说无理数是多于有理数的。实际上这就形成了集合的势的概念。
对于两个集合 A, B，称 A 的势小于等于 B 的势若存在一台 A 到 B 的单射，称 A 与 B 等势若二者之间存在双射。可以看到当考虑的集合均为有限集时，这一概念与我们平常所说的集合的大小是一样的。但是在考虑无限的集合时，这个概念容易产生一些反直觉的结论，比如 f(x)=2x 给出了一台从自然数集到偶数集的双射，这说明自然数集与偶数集等势。这个看上去就有些反直觉，因为偶数作为自然数的子集，看上去偶数应该比自然数少才对。这一例子说明了当考虑无穷集合时，集合的势作为衡量集合大小的一台量度时可能会有一些意想不到的结果。
我们把与自然数集等势的集合称为可数集合，因为这样的集合里的元素可以一台一台地数出来。容易验证整数集，有理数集都是可数集。那么一台自然的问题是：实数集是不是个可数集？如果是的话，那么说明有理数集和实数集等势，也就是有理数和实数一样多，那么就也很容易地说明有理数集和无理数集是等势的了。
很可惜实数集不是一台可数集，一台最经典的证明是康托对角线法。考虑 [0,1] 这个闭区间，这个区间里的所有实数都可以写成0.*****的无限小数的形式（有限小数可以在后面补可数个0。）如果这些实数有可数多个，那我们可以把它们从上到下一直写下去。但在这样的一台序列中，我们取一台数使得该数小数点后第一位是第一台小数的第一位，以此类推小数点后第 n 个位是第 n 个数的第 n 位，即通过取对角线的方式来得到一台数。这样得到的数是一台 [0,1] 中的实数，但它不同于我们之前列出的任何一台数，也就是说它不是 [0,1] 中的实数，这就导致了矛盾。因此可以看出即使是一台区间中的实数也不是可数的，这就说明了实数集与有理数集不等势，可以同理证明无理数集也与有理数集不等势（只需要在上述论断中只取无限不循环小数即可。）这样就从势的角度说明了无理数多于有理数。
那么接下来的一台自然的问题是实数集的势有多大。通过取集合 S 的所有子集构成的集合称为 S 的幂集，际上实数集与整数集的幂集是等势的。一台简单的证明方式是将任意一台实数写成二进制，那么这个数所有为 1 的数位就构成了整数集的一台子集，反之通过给出一台整数集的子集，我们也可以写出一台实数，这样我们就建立了实数集与整数集的幂集间的双射。实际上，对于任何一台集合 S， S 的幂集的势都是严格大于 S 的势的。
我们已经看到了即使同为无限多，在势的角度下实数是远大于有理数的。我们记有理数集的势为 c0，实数集的势为 c1，通过取幂集的方法可以继续定义 c2,c3... 那么接下来的问题是，是不是任何一台无穷集合，其势必为某个 ci 呢？答案是可以是也可以不是！这一假设被称为连续统假设，由康托提出，之后哥德尔证明了在 ZFC 公理系统下这一假设可以是真的，科恩证明了在 ZFC 公理系统下这一假设可以是假的，因此这个假设实际上是独立于 ZFC 系统的。也就是说，是否有一台集合的势比有理数大比无理数小这件事完全可以取决于你的心情，这样的结果可以说是是现代数学的一大魅力所在了。
最后的一点补充，比较两个集合的大小当然也有别的角度。比如两个集合是否可在包含序下比大小，显然有理数和无理数是不可以比的。也可以从测度的角度来看，那么在勒贝格测度下有理数是零测集，无理数集则是无穷测度的。同样也可以从纲定理的角度来看，作为可数集的有理数集是第一纲的，而无理数集则是在此意义下远大于有理数集的第二纲集。比较集合大小的时候，以上的一些角度应该是比较常见的。
最后的最后，在以上的讨论中本人承认选择公理。 |
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