同是最大密度填充，微元会不同，将局部情况线形化，无穷小之间是可以比较的，由于是相对的，具体情况具体检验，「弧微分」或者「旋转体侧面积」的逼近方式可以用 \text ds ，是因为 \text ds 与“真实情况”相差了一台相对于 \text ds 的高阶无穷小；然而用 \text dx 逼近的话，差值是等价无穷小，不可以“略去”。面积可以用 \text dx 的原因已经说明，旋转体体积可以用 \text dx 也是类似地去证明其相差一台高阶无穷小。
太阳系的元素（108）丰度（维度下的最大密度）曲线
三维引力(奇点)的空间填充路径偏微分算子——最速线（等时线ST）形态
图1：圆的X-Y连续平面填充，三维堆积微分算子
图2-1：圆的平面填充波动
图2-2：圆的Y^2=R^2-X^2连续平面填充，三维堆积偏微分算子
st=\oint_{-\infty}^{\infty}\frac{sinx}{x}=\pi ，st,斯坦纳比，维度数趋于无穷斯坦纳比大于1。
st=\oint_{a}^{b}\frac{sinx}{x}\,,b-a=n,n,维度数
st=\oint_{a}^{b}\frac{sinx}{x}\simeq0.866......, 2\prec b-a=e\prec3
2维最大填充密度 \pi/\sqrt{12}\simeq0.90689967061..., 3维 \pi/\sqrt{18}\simeq0.74... ,
图4：路径弦振动产生声子对周围空间的最大密度填充（声子）
st, 维度填充线密度y=sinx/x，样条覆盖是球体对于平面的反填充，与开普勒猜想最大密度填充意义相同，球装进箱子里等价于箱子覆盖球，平面点周期信号的基波一定是sinx,极大填充密度一定是趋近1，最大密度x=sin(nx)，若计算填充路径x=sin(x/n)：二维最大密度相对1维用原公式最大密度等于2，三维3，依此类推，n 维最大密度 n ，nx = sinx 。
图5：平面填充路径频率ω
n维维度空间的样条覆盖猜想宽度
st(n)=\oint_{a}^{b}\frac{sinx}{x} ,n=b-a
地表的维度（自然地表乱序排列）数，
平面上n个点的相关维度数
\varpi=(1+\frac{1}{n})^{n}=e,n\rightarrow\infty
光滑平面斯坦纳比介于二维三维最大填充密度之间
cst=p(n)/p, p(n)=sin(np), /p=sinp
e代表了连续自然常数“e”，工程中的自然数“1” - 资深
拉普拉斯方程之美：万物的数学之匙 - 资深
二维光滑平面
人脸识别（7频率组合法）
图6：自然光的三角信号分解
脸谱，本人的五官填充最短路径，1753年伯努利提出任意物理弦的振动（量子空间填充波）都可以可以表达为三角函数的和，但是他没给出证明，1807年，傅里叶于年在法国科学学会上提交了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的观点：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。傅里叶没有做出严格的数学论证。
一台确定的光滑平面，最短路径分割最大密度，路径垂直于填充面完成单元面积分割，假设填充密度为TS,填充路径为st,那么有参数c(st)=cos(TS)c, e^{ix},i=n
n=20
图7.1 复平面开普勒猜想
n=50
图7.2 复平面开普勒猜想
n=500
图7.3 复平面开普勒猜想
n=5000
图7.4 复平面开普勒猜想
当 n 足够大的时候，斯坦纳比趋于一台确定常数，量子填充概率幅 e^{ix} 其实就是一台单位圆。 st=s/t=\pi 并且很容易看出： e^{ix} 代表一族矢量的全空间填充，矢量的填充路径(角度)为 x ，矢量的幅值为 1 ,代表填充极限，于是，可以得到下面的图形：
图8. 复平面矢量填充
面积填充和单元面积中心的路径填充是等价的，
图9. 面积填充，路径填充
图10. 填充，路径
图11. 空间填充路径
最大密度填充与填充路径无关，既然开普勒猜想要证明到无穷维无穷大，填充体自然要视为无穷小的点才能彻底完备，光对空间的填充可以建模为开普勒猜想最大密度填充，非点体积面积填充因为是最大密度填充，必然也是类光填充，虽然光量子换成质量量子，但是它们有相似的波函数，填充密度的大小就是波函数的概率幅x=sin(nx)或nx=sinx，n为量子数，波动路径上，不同的x有不同的sinx,因而有不同的填充密度，nx=sinx 等价于 y=sinx/x,y=n,分数维度，维度全空间y连续，填充路径有sin,cos,tan,ctn 四种。n,量子数或量子频率，被众人膜拜的欧拉恒等式是个什么东东？ - 资深
每一张脸对应一台确定的斯坦纳比，指纹一样的区别“脸谱”，五官填充密度TS
开普勒猜想计算公式
y=\frac{sinx}{x}
y,维度数，x，开普勒猜想在y维度下的密度
数理史上的绝妙证明：六角密堆积证明及其它|数学家|六角|平面_新浪科技_新浪网
引力被视为空间填充最短路径，引力自然量子化。苹果砸中牛顿，完成苹果牛顿地球三质量体的最大密度填充，力学定律即填充定律，开普勒猜想斯坦纳比的计算可通过分析力学量子力学计算，近代物理的两大支柱是量子力学和（狭义）相对论。量子力学和（狭义）相对论是不分家的，它们之间有着千丝万缕的联系，这一点可从电子自旋的相对论性窥见一斑。丁荣培致信丁肇中教授：最新研究表明电子半径非一成不变，其速度越快、能量越高、半径越小 - 资深
光速不变即填充最短路径不变，旋转球的微元是一静态球，静态球是截面圆的旋转，圆是半径的旋转，半径是点的最大密度填充路径，起点到终点的驻波——
图11. 填充元素自旋
量子的力学路径填充：提起量子力学，人们就会想起薛定谔（Erwin Schrdinger, 1887-1961）方程
，以为薛定谔方程就是量子力学的基本方程。这个看法我曾有过，但我觉得它很不全面，如果不是很不正确的话。薛定谔方程于1925年底由薛定谔构造出来（那是个传奇过程）并用于氢原子问题（相关内容于1926年分四部分发表），求得电子-质子体系中电子的能级满足关系
。这个结果，再现了玻尔原子模型给出的氢原子中电子能级公式，但是更高明。玻尔的氢原子能级公式
是一台量子数 n 的函数，其中量子数 n 来自轨道量子化条件。虽然玻尔的氢原子能级公式很好地解释了氢原子的光谱，但它依然是错的。薛定谔的原子能级
是三个量子数的函数，量子数
是相关联的。薛定谔方程是电子的量子力学方程的第一层次，波函数是单分量的。薛定谔1926年的论文的题目是“作为本征值问题的量子化”，大概到1987年才算有人看出这题目的深意，虽然当时参与协助的外尔（Hermann Weyl）早就明白。
1927年，泡利 (Wolfgang Pauli, 1900-1958）为电子构造了泡利量子力学方程
，这里的哈密顿量描述电子与电磁场之间的相互作用。多量子相互作用力学几乎没有解析解，多量子填充y=sinx/x求解简易，
光速不变光锥，填充单元不变，三维重力空间堆叠相似，
图12. 开普勒猜想
图13. 开普勒猜想
数理史上的绝妙证明：电子自旋是相对论性质 ｜ 贤说八道
0.866=cos(1-60°)=cos(1-0.466)
0.866,二维斯坦纳比，0.466，logic常数，4.6692……：一台比圆周率更神秘的常数 - 资深
60°，圆最大密度排列张角
图14.1 填充多样性
作者：梦君宝
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来源：资深
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鲁珀特之泪， 熔化 的玻璃在重力下自然滴入冰水中，形成的如同 蝌蚪 状的"玻璃泪滴"，俗称为"鲁珀特之泪"。在大家的认知中，钢是最坚硬的东西，目前的建筑大多是用钢筋和混凝土制成的。但是钢板遇上子弹就不行了，再坚硬的钢板只要有子弹击打过都会留下坑，甚至是被打穿。可是这个世界上却有一种玻璃，可以把子弹击碎，到底是指什么玻璃这么坚硬？
图14.2 鲁珀特之泪的排列逻辑斯蒂
玻璃在我们的生活中是很常见的，玻璃杯、窗户上的玻璃等等，可是这些玻璃都非常的脆弱，只有受到撞击，就会碎一地，难道是防弹玻璃？在17世纪的时候，德国的鲁伯特亲王送给英国国王一台非常神秘的礼物，看着像是一台带尾巴的泪滴。国王看着这个玻璃制成的泪滴，好像并没有什么用处，觉得鲁伯特是用来羞辱他的，就下令让人拖下去。
鲁伯特赶紧解释这个泪滴的神奇之处，说这是世界上最坚硬的玻璃，无论如何打都不碎，国王也派人尝试了，都是有名的大力士，用什么东西都打不碎。但是在鲁伯特手中，只见他轻轻的一掰那个细细的尾巴，泪滴瞬间炸裂成小颗粒。从此这个泪滴就火了，并且有一台非常好听的名字“鲁伯特之泪”。其实这个泪滴就是将玻璃融化，将得到的玻璃水倒进水中冷却，就能得到一台泪滴了。在玻璃水滴到水中的时候，表面遇冷水就凝结成固体，但是在固体中间的玻璃依旧是液体。随着温度慢慢降低，里面的玻璃水也渐渐凝固，在凝固的时候将周围的外壳进行收缩，导致在小小的泪滴中聚集了非常大的压应力，就会变得非常坚硬。
后来科学家也进行了实验，对鲁伯特之泪进行了压应力的测试，结果也是让大家大吃一惊，其压应力高出大气压上千倍。可是说世界上没有任何东西可以摧毁它，大家用子弹在做实验的时候，子弹在击中泪滴的一瞬间就会变成碎片。而这个强大的泪滴也是有弱点的，就在它自个的身上，每个鲁伯特之泪都有一台细长的小尾巴，而这个尾巴就是它致命的地方。
图14.3 鲁珀特之泪的排列逻辑斯蒂
只要轻轻将尾巴掰碎，整个泪滴瞬间就炸裂成小颗粒，其应用的原理就是，只要尾巴碎掉，在泪滴中积攒的巨大的应压力就会被释放出来。其实每个强大的物体都有一台致命的弱点，不要被任何困难击倒，只要坚持就会发现其七寸所在，一击致命。
图2中的圆在平面上的排列方式称为六角密堆积 （hexagonal close packing）。容易计算，圆铺排的面积占比，用圆的面积除以相邻四个圆中心所张成的、边长为圆的直径而夹角为60°/120°的菱形的面积，为
这样的排列方式，是最致密的。那么，如何证明呢？
图14.4 平面最密堆积
斯坦纳最小发生树，平面上n个点的平面多体运动引力测地线,斯坦纳比r/∑ri,r=ln│∏ri│
贝尔实验室数学中心主任波雷克和研究员吉尔伯特对斯坦纳比问题作了许多研究，根据自个多年研究所得提出如下猜想：对欧氏平面上的任何有限点集，其最小的Steiner树同最小发生树的长度之比(称为Steiner比，即斯坦纳比)不小于√3/2，作者猜想，不仅如此，它还与平面上的点个数n的大小有关——
平面点维度数
n=(1+1/ni)^ni,ni,光滑平面上的点数
假设图上有n个点，每两个点之间以概率p随机连线，那么n个点之间拥有至少一条连通线路的概率是多少？最小发生树p(n)=sin(np),最小树p=sinp,斯坦纳比st=p(n)/p,n点维度数，光滑平面不考虑点数即认为点数无穷大，就像开普勒猜想的证明证明到填充体无穷多个，n=(1+1/n)^n=e,介于2，3之间，π/√12≤0.866≤π/√18 。频率与键结线路长短正比——斯坦納二重奏--斯坦納系和斯坦納樹_网络_逐日者-CSDN博客
p(L)=sin(np)
图14.01 图论点阵，平面上的三角函数波填充
连线即键结，n个点的键结可拓扑为n个点在平面中心 O 的最大密度填充，概率等于最大填充密度 x ， x=sin(nx) , n 是点数，也是关于点群中心 O 的角 V 度数。 p=x .
图14.02 色填充路径
n维二维的拓扑转换
n个点的键结函数还可由处处连续处处不可导的威尔斯特拉斯函数构造
图14.03 威尔斯特拉斯函数
p(L)=\sum_{a}^{b}{sin(np)}
它几乎可以表示任何一台图论点图结构。
n 维空间开普勒猜想的数理证明和它的全空间积分 - 资深
三维空间开普勒猜想的数理证明计算公式，它在N维的计算推广证明和全空间积分 - 资深
四色定理与密铺群元理论 - 资深
"四色定理"的填充路径波“四涉”猜想 - 资深
任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成，图论点阵，n个点的连续周期信号，平面上的三角函数波填充。斯坦纳比可通过任一填充路径函数计算
x=sinx
x=sin2x
x=sin3x
... ...
x=sin(nx)
... ...
正弦曲线的长可通过摆线的长度计算，摆线测地线，拓扑最小斯坦纳树，最小发生树是它对应的三角波，线长积分，它们的比值就是斯坦纳比
图14.04 填充路径斯坦纳比
st=1.86/\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{x^{2}+sin^{2}x} dx
梯度制，点，二维微元，弧度制单位，一单位对应一台正圆，计算三维开普勒猜想采用弧度制，三维微元，单位圆，单位球的微分，四维微元正球体，五维微元“圆环”，旋转的正圆形成一台球体，对应一段圆环，或长度πr的圆筒，六维微元“空心球”，七维微元“空心圆环”，八维微元“2套叠空心球”，八维微元“2套叠空心圆环”，九维微元“4套叠空心球”，十维微元“4套叠空心圆环”，十一维微元“8套叠空心球”，十二维微元“8套叠空心圆环”，十三维微元“16套叠空心球”,......,轨道点环球环球......交替，静止点静止线没有意义，运动点一定旋转，线是两端点间的驻波
图15. 开普勒
开普勒第三定律，引力填充量子化方程，开普勒定律，行星引力填充稳态定律，开普勒猜想计算公式。他在 1618 年发表的《世界的和谐》中提出了第三定律。
(1.正圆是数理填充基本稳态模型)
开普勒第一定律表述为：行星绕太阳运动的轨迹是接近圆的闭合椭圆轨道，太阳在该椭圆的一台焦点上。（2.椭圆填充焦点定律）
第二定律表述为：行星与太阳的连线在单位时间内扫过的面积恒定。（3.椭圆填充的角动量正圆定律，填充冲量矩定理）
第三定律表述为：绕太阳做椭圆轨道运动的各行星，轨道半长轴的立方和公转周期的平方成正比。（4.填充周期定律，填充维度递进定理，揭示了二维填充与三维填充的关系，或可推广至n维填充与n+1维的计算）
行星运动三定律虽然由开普勒总结提出，但同样离不开第谷精确的观测数据，准确无误的实验观测才是得到正确规律的基础。
基本填充或基本引力单元二体开普勒方程
图16. 开普勒方程
完全填充或最大密度填充或稳定稳态填充，称为圆轨道，椭圆，角动量正圆仍称为圆（开普勒第二定律）稳态最大密度，开普勒方程就是开普勒猜想密度填充计算公式，填充稳态，开普勒猜想的最大密度填充，不难计算二维 \pi/\sqrt{12} ,三维 \pi/\sqrt{18} ,......,解法见x = cos x 的解析形式 - 资深
图17. 维度堆积波信号分解：开普勒猜想填充路径
密度计算公式可以贯穿任何维度欧几里德空间
图18. 堆积波对于1-n维欧几里德空间的维度贯穿，开普勒猜想的异维度扩充：欧氏空间视为黎曼空间（非欧空间）的切片，开普勒猜想计算公式拓展到非欧空间
非欧空间的斯坦纳比可以小于1，可以大于1，
图19. 最速填充
图19.2 最速填充
图19.3 最速填充
摆线，又称旋轮线、圆滚线，在数学中，摆线（Cycloid）被定义为，一台圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。它是一般旋轮线的一种。摆线也是最速降线问题和等时降落问题的解。在一台斜面上，摆两条轨道，一条是直线，一条是曲线，起点高度以及终点高度都相同。两个质量、大小一样的小球同时从起点向下滑落，曲线的小球反而先到终点。这是由于曲线轨道上的小球先达到最高速度，所以先到达。斯坦纳比大于1，又如盘山公路Johann Bernoulli 对最速降线问题的beautiful解答：如果使分成的层数n无限地增加，即每层的厚度无限地变薄，则质点的运动便趋于空间A、B两点间质点运动的真实情况，此时折线也就无限增多，其形状就趋近我们所要求的曲线——最速降线．而折线的每一段趋向于曲线的切线，因而得出最速降线的一台重要性质：任意一点上切线和铅垂线所成的角度的正弦与该点落下的高度的平方根的比是常数．而具有这种性质的曲线就是摆线．所谓摆线，它是一台圆沿着一条直线滚动（无滑动）时，圆周上任意一点的轨迹。因此，最速降线就是摆线，只不过在最速降线问题中，这条摆线是上、下颠倒过来的罢了．
图20. 球体对于球的填充微分算子
图21. 圆的平面填充（球体微分元的三维填充）
斯坦纳比问题是：假设我们在北京，上海，西安三城市之间架设电话线。一种办法是分别联通北京--上海和北京--西安。另一种办法是选第四个点，假设郑州。由此分别向三城市架线，可能你不会想到第二种办法所用电话线只是第一种办法的86.6%。
这就是离散数学界在30年代提出的著名的斯坦纳比问题，但一直未能得到证明。直到1967年，大名鼎鼎的贝尔电话公司，遇到了一家精明的用户航空公司，用户要求在第四点的位置上架上电话线。这样使得电话公司不得不对最短网络问题进行研究。于是，贝尔实验室数学中心主任波雷克和研究员吉尔伯特对斯坦纳比问题作了许多研究。根据自个多年研究所得提出如下猜想：对欧氏平面上的任何有限点集，其最小的Steiner树同最小发生树的长度之比（Steiner比，即斯坦纳比）不小于3/2的正二次方。换言之，正三角形加点可以节省更多，但他们自个并没有能证明它。
由于其在运输，通信和计算机等现代经济与科技中的重要作用，近几十年来它的研究进展很快，1985年，格拉姆和金芳容借助于计算机，证明了斯坦纳比大于0.824,虽距0.866不遥远，却始终未能达到最终目标。1990年，堵丁柱和贝尔实验室黄光明研究员合作，找到了一台全新途径，给出了吉尔伯特-波雷克猜想完整证明。其主要思想是，首先在欧氏平面含n点的集合与2n-3维空间的点之间建立一一对应的关系，使得猜想可以化为2n-3维空间上函数的极值问题，然后利用鞍点定理找出可以达到极值的临界点应满足的必要条件，之后，再将此条件转换为临界点对应的点集上的几何性质。最后，利用这些集合性质确定集合结构，验证该猜想。一台重要的注释是，为获得较易验证的几何结构，他们将猜想先转换为一台较强的形式，然后再如上法炮制。证明于1990年10月在会议上正式公开，《纽约时报》立刻做了报道。接着《科学》杂志、《科学新闻》《新科学论》《SLAM新闻》等报刊上出现了许多报道。值得提及的《SLAM新闻》在头版上用了个有趣的“在计算机时代欧氏几何的欧氏平面上n点的集合←→2n-3维空间的点力与运气”。在《不列颠百科全书1992年鉴》中，该证明进一步被列为入选的6项数学成果的第一项。因此，堵丁柱也荣获了中国科学院自然科学一等奖、国家科技进步二等奖和中国青年科学家奖等殊荣。Stewart教授对证明的意义作了阐述。12年前曾当过堵丁柱的老师，12年后又配合堵丁柱攻克斯坦纳比难题的贝尔实验室研究员黄光明在兴奋之余撰文记述了研究过程。他幽默地写道：“如果要等我证出0.866的猜想才退休，那我可能要在贝尔实验室过百岁生日了。解决这一问题的关键也许不在时间而在人，我能做的贡献是找到一台比我强的人来作此问题。我找到了堵丁柱，而堵丁柱今年四月找到了答案。”每个成功者的背后，都会留下奋斗的足迹。探索一下堵丁柱的成才之路，或许对今天的青年朋友有所启迪。1996年，堵丁柱的老师越民义在《运筹学杂志》发表论文，否定了堵丁柱和黄光明的工作,经过与Du等学者多年的讨论，2012年俄罗斯学者A. O. Ivanov和A. A. Tuzhilin正式宣布steiner ratio 猜想仍是公开问题
图22. 星体填充
同一面积同一空间，最小周长包围最大面积，最短路径分割最大填充密度，斯坦纳比的下限 1/π≈0.31831......, 上限 S/φ =π
图23. 量子填充
图24. 几何填充
图论n个点路径“称为泛圆”的周期信号，图论任意点阵结构的圆拓扑（最基本的是圆椭圆拓扑）
图25. 几何填充
不需要积分可以求出函数面积 Mamikon定理 - 资深
圆，图论分析的基本点阵结构。
斯坦納二重奏--斯坦納系和斯坦納樹_网络_逐日者-CSDN博客
斯坦納二重奏--斯坦納系和斯坦納樹
转载Feisy 最后发布于2008-04-08 17:26:00 阅读数 1759 收藏
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一、前奏
斯坦納 (Steiner) 是十九世紀中葉瑞士的一個幾何學家。斯坦納系是他唸的系；斯坦納樹是他種的樹。這樣的破題雖然也說的通，卻似乎沒有什麼數學興味。所以讓我們對主題再作一新的詮釋。
二、序曲
我們首先要聲明的即斯坦納系 (Steiner system) 和斯坦納樹 (Steiner tree) 這兩個主題在數學上毫無相關。它們的相關是文字上的，即兩者都掛上了斯坦納的商標。更巧合的是這兩個問題事實上都不是斯坦納首先提出的，他只是眾多接觸這兩個問題中的人之一，也並沒有特出貢獻。這一張冠李戴的錯誤當然怪不上斯坦納，因為並不是他命名的。大概有名的人帽子號碼大些，被人順手牽羊戴在頭上的機會也大些。
我們所以選這一題目介紹在這一集組合專輯裏因為這兩個問題都和組合有些關係。斯坦納系是組合設計中廣受注意的一個問題，組合設計研究中的一個基本課題就是討論什麼是組合設計存在的充要條件。當然由於這個問題太大，所以要把組合設計分類討論，而斯坦納系就是首先獲得重要突破的一個大類。斯坦納樹是最新興起的計算幾何學裏的一個課題。我們知道平面幾何的作圖工具是圓規和直尺，到了二十世紀的今天作圖的工具已改為計算機了。計算幾何即討論以計算機來作幾何問題的算法。由於計算機科學和組合學的親密關係，許多領域是這兩門學科的共管區，而許多學者也具雙重學籍。
三、斯坦納系樂章
一個 (v,b,r,k,λ) 設計，也稱區組設計 (block design)，指的是 v 元集 V 上由 b 個 k-子集（每一 k-子集也稱一區組）組成的一個子集族。它滿足下列兩條件：
(甲) V 的每個元素恰出現在 r 個區組中。
(乙) V 的每一對元素恰出現在 λ 個區組中。
下例是一個 (6,10,5,3,2) 設計：
元素 1 出現在區組 2,6,7,8,10 中共五次，其他元素也各出現五次，元素 1 和 2 共同出現在區組 8，10中共二次，其他任二元素亦同出現二次。
在一個 (v,b,r,k,λ) 設計中，v 個元素每個出現 r 次，所以共出現 vr 次。另一方面，b 個區組每一個中有 k 個元素出現，所以共出現 bk 次，因此
v 個元素共有
對，每對出現 λ 次，所以共出現
對次。另一方面 b 個區組每一個中有
對出現，所以共出現
對次。因此
所以 v,b,r,k,λ 五個參數中事實上只有三個獨立參數，設為 v,k,λ。由(1)和(2)解得
及
由於 r 和 b 必須是整數，故知
是 (v,b,r,k,λ) 設計存在的必要條件。問題是(3)是否也是充分條件？讀者很容易自行檢驗當 k=1 和 2 時，唯一的區組設計分別是 V 的全部 1-子集和 V 的全部 2-子集。這兩種平凡情形一筆帶過即可。 k=3 時是第一個需要研究的情形，而 k=3 的情形仍需一步步做。第一步是解決
的問題。注意當 k=3，
時，(3)可簡化為
英國的伍爾豪斯 (Woolhouse) 在1844年首先提出 k=3,
的區組設計問題，三年後同為英籍的柯克曼 (Kirkman) 牧師證明了(4)式的確是 (v,b,r,3,1) 設計存在的充要條件。但基於「好事不出門，惡事傳千里」的原則，這一發現並未傳到海峽對岸的歐洲大陸。 1853年斯坦納「閉門家中坐」在研究四次曲線的二重切線問題時也遇到了 k=3，
的區組設計問題，他猜測了六年前柯克曼已證明了的結果，1859年賴斯 (Reiss) 證明了斯坦納的猜測。從此，k=3,
的區組設計就被稱為斯坦納三元系 (triple system)。一個名稱一被發明後就無孔不入，因此 k=3, λ 一般的區組設計就叫做三元系，而 k 一般，
的區組設計當然順理成章的叫斯坦納系。區組設計存在的充要條件這一問題一直到一百年後才獲得了重大的突破。 1961年猶太人哈納尼 (Hanani) 證明了(3)式確是三元系區組設計存在的充要條件，他也證明了(3)式也是 k=4 時的充要條件。但當
時人們早就知道有些滿足(3)式的區組設計並不存在，因此提出下一猜想：「對給定的定 k，除去有限對數值 (v,λ) 之外， (3)式是區組設計存在的充要條件。」 1975年美國人威爾遜 (Wilson) 證明了這一猜想，一百三十年來這一問題在組合學界引起的波動與震撼，至此塵埃落定。
在組合學的研究上往往在解決了存在的問題後下一個要回答的問題是有多少？因此我們也可以問對於一個給定的正整數 v，到底有多少個不同的斯坦納三元系存在？這個問題也許太難了，我們把範圍收歛一點。如果在同一個 v 元集上的兩個斯坦納三元系沒有相同的區組，則我們說這兩個三元集不相交。定義 d(v) 為給定 v 後互不相交的斯坦納三元系最大的數目，對於 d(v) 的探討稱為斯坦納三元系大集 (large set) 問題。從斯坦納三元系的充要條件我們只需討論
的情形，且已知
。另一方面，V 共有
個 3-子集，而每一個斯坦納三元集含
個 3-子集，故知
如果 d(v)=v-2，我們說對於這一 v 值，斯坦納三元系大集存在。大集問題的誕生幾乎和斯坦納三元系同時。 1850年英國大數學家凱萊 (Cayley) 證明了 d(7)=2，即大系只包含 D1 和 D2 兩設計：
同年柯克曼證明了 d(9)=7。但不像斯坦納三元系在數年內即分別被柯克曼和賴斯解決，大集問題在下一百年內幾乎毫無進展，由此可以看出它的難度。一直到1972年始，多延 (Doyen)，考席 (Kotzig)等從尋求 d(v) 的下界入手，引進遞歸方法，才使這個問題有了新的進展。 1973年和1974年丹尼斯頓 (Denniston)，施賴伯 (Schreiber) 和威爾遜陸續對 205 以內，滿足
的大部份 v 值給出了斯坦納三元系大集。此外泰爾林克 (Teirlinck) 和羅莎 (Rosa) 分別給出了 v 到 3v 和 v 到 2v+1 的遞歸結果。但是總而言之到1980年止，關於斯坦納三元系大集的存在問題只有零碎的結果而無全面破案之計。我們現在把鏡頭自北美大陸迅速拉開，越過太平洋，越過山東半島，越過華北平原而到達內蒙古境內，可以聽到黃河，可以望見長城的包頭市。在這兒的包頭九中一位年輕的物理老師陸家羲，在六十年代初期即在繁忙的物理教學課後，埋頭從事他業餘興趣，組合設計研究。六十年代初期正是組合學的輝煌時代，1960年玻色 (Bose)、血汗 (Shrikhande)，派克 (Parker) 粉碎了歐勒 (Euler) 在拉丁方陣上的猜想，第一次把數學帶上了紐約時報的頭版。 1961年哈納尼獲得了 k=3,4 時區組設計的充要條件，這些都是組合學上百年來的大事。陸家羲1961年解決了在組合學上號稱三大疑案之一的「柯克曼女學生」問題，他的文章投寄給中國的數學雜誌，卻遭到屢投屢退的命運，現在他的原稿已經遺失，只留下了投稿退稿的記錄，及1965年的修正稿。這份修正稿的正確性現已由蘇州大學的吳利生教授肯定，當年卻仍不能受到審稿者的青睞。在中國明珠被藏的時候，國外的學者卻在生氣勃勃的叩關攻堅。 1971年美國俄亥俄州大的博士生威爾遜和他的導師印籍雷小杜里 (Ray-Chaudhuri) 終於接受著大家的恭賀成為「柯克曼女學生」問題的法定征服者。
然後是四人幫的混沌時期，學校關閉，教師下放，除了少數親朋外全世界大概沒有人知道陸家羲的下落也沒有人會關心。像中國眾多的年輕科學家，有發光的潛能，有發熱的內涵，卻因命運的播弄而含苞未放，像天際一顆遙遠的星星在人們還來不及注意它時已被厚黑的雲層吞沒。
吞沒了嗎？在下一個浪潮中陸家羲卻又平地一聲雷的站了起來。隨著中國大陸的對外開放政策，陸家羲這次越過了中國的障礙而把研究成果投寄到美國頗有權威性的「組合論雜誌」。從1981到1983年，該雜誌先後發表了陸家羲六篇論文，宣佈了斯坦納三元系大集問題的徹底解決。他證明了當
且 v>7 時除了
六個數外，d(v) 恆等於 v-2。這一顆曾被柯克曼、凱萊、西爾威斯特 (Silvester) 等數學界大賢灌溉過的鐵樹，終於百年後在陸家羲的手上開了花。對於六個沒有答案的 v 值，陸家羲也在1983年的數學會議上宣佈了他已明珠在握，將寫成第七篇論文。可惜同年十月陸家羲在寫下了二十四頁的綱領後，即突然去世了，留待後人來舉起他苦撐四分之一世紀積成疾放下的火炬。
四、斯坦納樹樂章
十七世紀初期的某一天，法國大數學家費瑪 (Fermat) 正結束了一個有名的關於求最大最小值的演講，演講中他介紹了一個在各種曲線上不用微積分求切線的辦法。他雄辯的向聽眾挑戰說：「誰不信我的辦法，就解這個問題給我看：給定平面上三點，找出第四點使得它和給定三點的距離之和為最小。」當費瑪丟出一個問題後，自然四方都有迴響。 1640年意大利的托里切里 (Torricelli) 用幾何方法證出第四點應是正三角形 ABD、BCE、CAF 的外接圓交點（圖一點 O，ABC 是三給定點）稱為托點。 1674年卡伐利立 (Cavalieri) 在他的《幾何演習》一書中指出
。 1750年辛普生(Simpson)證明托點也是 AE、BF、CD 三線的交點，這些線都叫做辛線。 1834年海能 (Heinen) 指出了以上結果都只有在
內角都不大於
時成立。當有一角
，則托點即和此角之頂點重和。
<hr/>圖一 托點的求法
他也證明了辛線長等於托點到 A、B、C 的總距離。
這一費瑪問題也有另一種提法，即「給定平面上三點，找到一個把這三點連結起來最短的網絡」。這時可證最短網絡即是托點和三給定點的連線。當我們把平面上三點推廣到平面上 n點，這兩種提法卻形成了不同的問題。如果我們要找到一個托點使得該點和給定 n 點的總距離最短，這問題稱為廣義費瑪問題，非本文討論範圍。另一個問題是給定 n 點後找出連接該 n點的最短網絡。這時連接一個托點到每個給定點不一定是最短的連法。譬如給定的四點是正方形的四頂點，則最短網絡是圖二(甲)而非(乙)。
图26. 斯坦纳比
<hr/>圖二 正方形四頂點的最短網絡
為了和廣義費瑪問題區別，上述之最短網絡問題被稱為斯坦納問題（據考證斯坦納雖曾參與此問題但無顯著貢獻）。網絡中所含給定點（稱原點）之外的點叫做斯點。
我們首先看看最短的網絡應該具有那些性質。所謂一個網絡的拓樸即指點與點間連接的關係。因此在一個拓撲中斯點的位置並不固定，邊的長度也非所計，一個拓撲只規定了那些點間有邊相連。
(甲)拓撲必須是樹形：所謂樹形即指沒有圈。因為如有圈，則我們可以去掉圈中任一條邊來縮短網絡而不影響任何點的連接。(乙)令 S 為網絡中的一斯點，則 S 的度數（即與 S 相交的邊數）至少為三：如果S的度數為一，則去掉S上的邊不影響任何點的連接；如果S的度數為二，設計二邊分別連接U和V，則以線UV代替線 SU和線SV，縮短了網絡而不影響任何點的連接。(丙)與 S 相交的任兩邊其夾角不小於 120 度；不然的話可在其兩夾邊上取 U,V 兩點使得
的內角皆小於 120 度。根據費瑪問題的結論，S、U、V 三點間的最短連接並非 SU 和 SV 兩邊，因之現有網絡並非最短。注意(甲)和(乙)合併考慮時，可導致n點的最短網絡至多含n-2斯點的結論； (乙)和(丙)合併考慮時，可導致每一斯點恰交三邊，且夾角都是120度的結論。
一個連接n原點的網絡如滿足(甲)(乙)(丙)三條件則稱為斯樹。顯然的，最短網絡必須是斯樹，所以也可稱為最短斯樹。有n-2個斯點的斯樹稱為滿斯樹。（滿）斯樹的拓撲稱為（滿）斯拓撲。
梅爾扎克 (Melzak) 給了一個從一個滿拓撲造出它的滿斯樹的算法，這個算法即成為造n原點上的最短斯樹的基礎。首先注意任何一個非滿的拓撲都可以分解成一些較小的滿拓撲。每一個滿拓撲上的點集合都是非滿拓撲上的點集合的一個子集，每一條非滿拓撲的邊都屬於且僅屬於一個滿拓撲。下圖中顯示一個五點的非滿拓撲分解成一個四點和一個兩點（虛線）的滿拓撲。
<hr/>圖三 非滿拓撲的分解
在每一個滿拓撲上用梅爾扎克算法造出它的斯樹，這些斯樹的聯合即為原來非滿拓撲的斯樹。
現在我們可以敘述造最短斯樹的算法：「歷舉所有的斯拓撲（即每一斯點只有三條邊的拓撲），對應於每一斯拓撲用Melzak算法造出它的斯樹（有時不存在），這些斯樹中最短的一個即最短斯樹。」
尚未明述的一步是梅爾扎克造滿斯樹的算法。令T為給定的斯拓撲。在n=3時梅爾扎克算法即同於托里切里對費瑪問題的解法。當
時梅爾扎克算法可以分成兩步。第一步是遞歸的將兩原點換為一新原點，且新拓撲的斯點也減少一個，所以仍為滿拓撲，直至只剩下兩原點為止。細言之，令A、B為連接於同一斯點S的兩原點（總有如此兩點），設S連接的第三點為C。令D為正三角形ABD的第三點且D與S分在AB線兩側。新的滿拓撲T&#39;由T去掉AS、BS、CS三邊再加上DC邊而得。注意D點的位置是固定的，所以可視為一新的原點。第二步是把第一步的順序倒過來，由兩原點的滿斯樹逐步還原成n原點的滿斯樹。我們舉例說明。
图27. n个点最小周长最短路径斯坦纳比的割圆拓扑
<hr/>圖四 梅爾札克造滿斯樹的算法
設 A、B、C、D 為給定四原點。給定的拓撲T包含下列諸邊AS1、BS1、 S1S2、DS2、CS2。梅爾扎克算法第一步（圖四A）將E代替A和B，新的拓撲T&#39;包含ES2、DS2、CS2三邊，再將F代替E和C。剩下一個兩點F和D的拓撲包含邊FD，第二步（圖四B）先作正三角形CEF的外接圓和邊FD交於S&#39;2，再作正三角形ABE的外接圓與邊ES&#39;2交於S&#39;1。令 t 為含邊 AS&#39;1、BS&#39;1、S&#39;1S&#39;2、DS&#39;2、CS&#39;2 的樹。連續使用費瑪問題的結論，可知 t 為 T 的斯樹（即證 S&#39;1 和 S&#39;2 的邊的夾角都是120度）。
我們來檢查一下以上法造最短斯樹的複雜度 (complexity) 首先我們看看梅爾扎克造滿斯樹算法的複雜度。注意當我們把兩原點換成新點時，我們只知道這三點應構成一正三角形，且新點應和 A、B 點共同連結的斯點分在邊 AB 的兩側。但因一般說來在第一步操作時我們並不知道斯點的位置，因此新點的位置有兩個可能（分別在邊 AB 兩側）。同理下一次換點時又有兩個可能，如此推論，則第一步的操作原則上要考慮 2n-2 個可能。當然在點數少時或在其它的幾何性質可以利用時，往往可正確的判斷新點的位置，但我們無法嚴格的計算這些可遇而不可求的機運來修正2n-2這一數量。
另一個嚴重的計算問題是斯拓撲的數目太多。用歸納法可以算出當原點數為 n、斯點數為 s時，共有
個斯拓撲。當 n=7, s=5 時，這個數目是 945，但在 n=7 時我們需考慮所有
的拓撲。這個總數達到 62370。
這是否意味以上這一造最短斯樹的算法太差而應另起爐灶呢？事實上有一個理論上的結果顯示只能有量的改進而不會有質的變化了。蓋瑞 (Garey)、葛立翰 (Graham) 和強生 (Johnson) 在1977年證明了造最短斯樹是一個計算科學上稱為 NP-complete 的問題。簡言之，即這類問題最佳算法的複雜是 n 的一個冪數函數而非多項式函數。當我們警覺到 2n 當 n=100 時已是一個有 30 個零的數字，就知道造最短斯樹只有在 n 很小時才有可行性。用我們介紹的這一算法， n 的上限大約在 10 到 15 之間。
最近有一個已發現的改進和一個可能的改進可以將 n 的上限再往上推展一些。已發現的是梅爾扎克造滿斯樹的算法可以改進到線性複雜度。細言之，當拓撲含 s 斯點時，如果適當的選擇二原點，則新點應在二原點的那一側永遠可以確定，因此 2n-2 種可能就減成只有一個可能。這個結果筆者即將發表於《O.R. Letters》這一雜誌上。
另一個尚未完成，但若成功時其影響將遠大於前段所述之改進是，要證明造最短斯樹只需考滿斯拓撲即可。當最短斯樹的拓撲 T 非滿時，必定有一個滿斯拓撲的斯樹會蛻化成 T 的斯樹，因此也就是最短斯樹。如果上述構想為真，則在 n=7 時，我們只需考慮 s=5 的 945 種拓撲而非
的 62370 種拓撲。
談到斯坦納樹問題，不可不提一下斯率 (Steiner ratio)。最短生成樹的定義是不許有斯點時連接原點的最短網絡。斯率的定義是在任何原點集合下最短斯樹和最短生成樹長的比率。在原點集合為正三角形的三頂點時，兩樹長的比率是
，因此斯率不能大於
。 1968年格爾伯特 (Gilbert) 和勃拉克 (Pollak) 猜測斯率即為
（約 .866）且報導了牧爾 (Moore) 的證明斯率大於 .5， 1976年葛立翰和筆者證了斯率大於 .577， 1978年鍾金芳蓉和葛立翰證了斯率大於 .743， 1983年堵丁柱和筆者證了斯率大於 .8。 1985年鍾金芳蓉和葛立翰證了斯率大於 .8241。另一方面格爾伯特和勃拉克在1968證了 n=3時斯率為
， 1978年勃拉克又證了 n=4 的情形。 1985年堵丁柱，姚恩瑜和筆者證了 n=5 的情形。
五、尾聲
表面上我們利用了歷史上二個偶然的命名錯誤湊成了本文的題目。實質上我們是要借此機會介紹自1960年以來組合設計上幾個突破性的成就。由於我們的偏愛和私心，更突出了我們的同胞陸家羲在艱苦條件下的卓越成就。另一方面我們想借斯坦納樹的題目介紹一下最新興起的計算幾何學。
图论点填充四色猜想，平面点周期信号的基波一定是sinx,点填充色填充等价，
图A
图B
数理史上的绝妙证明：六角密堆积证明及其它|数学家|六角|平面_新浪科技_新浪网
阿克塞尔·图 （Axel Thue， 1863-1922） 是一位挪威数学家
他证明图A图B等价
为啥开普勒猜想和四色猜想这种直观的结论如此的难以证明？ - 资深
既然开普勒猜想要证明到无穷维无穷大，填充体自然要视为无穷小的点才能彻底完备，光对空间的填充可以建模为开普勒猜想最大密度填充，非点体积面积填充因为是最大密度填充，必然也是类光填充，虽然光量子换成质量量子，但是它们有相似的波函数，填充密度的大小就是波函数的概率幅。四色猜想是地图的色填充开普勒猜想，波函数无论多么复杂，色相（填色路径：填充路径）只有 sin,cos,tan,ctg 四类。四色问题的证明对图论、拓扑学等数学分支的发展起了很重要的作用，而图论和拓扑学在物理、工程技术、通讯、计算机技术、运筹学、生物遗传、化学、心理学、经济学、语言学、人类学、基本粒子理论、规范场论、分子生物学、生物化学等众多的领域发挥着积极的作用。
图28.
图29.1
图29.2
开普勒猜想证明，计算公式：平面点周期信号的傅里叶分解——
图c. 平面最密堆积点周期信号的三角波，周期R，单元半径的函数
x=sinx,弧度制的圆微元x得到三维球体堆积最大密度（极限密度略小于0.74），微分的维度数被填充空间维度数相差1， (x^{n})^{，}=nx^{n-1} ,n维空间的最大填充密度 x=sin(nx) ，以三角波为例
把x(t)轴平移到 T_{0}/2
不难计算二维最大填充密度 \frac{\pi}{\sqrt{12}} ，三维最大填充
密度等于 \frac{\pi}{\sqrt{18}} ，... ...，维度数奇偶相间，幅值正负波动，填充密度在填充道路上是滚动的波动的，n维最大填充密度
开普勒猜想计算公式：
图D.
梯度制填充微元为平面上的点，计算结果为二维平面堆积最大密度
图E.
弧度制单位内涵填充点为圆，
图F
圆，三维球堆积微分元，公式计算结果为三维最大堆积密度
x=0.739... ....\approx\pi/\sqrt{18}
图G. 球体的一种旋转微分元
元素周期，元素丰度，公式给出H元素丰度最大结论 .
图H. x=sin(nx)大致描述出量子星系第n轨道质量分布或密度分布n=1,2,3,... ...,i,... ...
图I. 太阳系化学元素丰度空间分布或空间量子填充开普勒猜想y=f(n,sinx,x),n=1,2,3,... ...,i,... ...
图J. 元素的球面填充
将引力视为密度填充过程，则y=sinx/x, 图像表明，引力波是横波，空间波动，同一点大小波动，函数&#34;y=sin(x)/x&#34;的图表：
图K1
图K2
图K3
图K4
图K5
图K6
图K7
单位1内部的量子引力 y =sin(1/x)（路径填充）
图L1
图L2. 路径集中在±1/10,宽0.2
图L3. 量子波峰（极值）- 负半轴：2正1负；正半轴：2负1正
图L4
编辑于昨天 21:30 |
