本次将对矩阵论中一类常见的矩阵进行介绍：家用投影阵。 本次大致介绍三种不同类型的家用投影阵，具体可参考王松桂老师编写的《线性模型引论》及《线性模型的理论及其应用》。 首先对正交家用投影阵进行介绍。
1 正交家用投影阵
在介绍这种矩阵之前，我们先简要分析一种与之等价的矩阵：对称幂等阵。
对称幂等阵顾名思义：
首先，需要满足对称性，即矩阵的转置与矩阵本身相等；
其次，这种的矩阵的平方阵与其相等，这种矩阵相信各位在学习数理统计时应该有一定印象。没错，这种矩阵可以作为产生卡方分布的二次型的二次型矩阵。这个性质在本次不进行具体说明，后续针对其会有相应的介绍。
定义1
若方阵A_{n×n}满足A^{2}=A，则称A为幂等阵。
其具有以下性质，运用矩阵特征值的定义即可得到一台简单的证明。
定理1
1、幂等阵的特征值只能为0或1;
2、若A_{n×n}幂等，则tr(A)=rk(A).
其中定理1的第2条，应注意到如下事实，先对A_{n×n}作奇异值分解，之后对奇异值分解所得的矩阵P、Q进行分块，之后具有计算过程可参考王松桂老师编写的《线性模型引论》；另有一种不严谨的思路可供参考，注意到幂等阵的特征值只能为0或1，且根据矩阵的tr的定义，其为矩阵所有特征值之和，可以近似得到tr(A)=rk(A)的结论。
定理2
设矩阵P_{n×n}为对称幂等阵，rk(P)=r，则存在秩为r的A_{n×r}使P=A(A'A)^{-1}A'.
此定理证明不存在技术难度，此处不予以赘述。
以下先给出正交家用投影阵的定义，之后通过一台定理给出其表示。
设 x \in R_{n}, S 为 R_{n} 的一台线性子空间. 对 x 作分解
x=y+z, \quad y \in S, \quad z \in S^{\perp}, \\
则称y 为 x 在 S 上的正交家用投影. 若 P 为 n 阶方阵，使得对一切 x \in R_{n}, 上式定义的y满足y=Px，则称P为向S的正交家用投影阵.
定理3
设A为n×m矩阵，P_{A}为向\mathcal{M}(A)的正交家用投影阵，则 P_{A}=A\left(A^{\prime} A\right)^{-} A^{\prime}.
证明：此证明参考《线性模型引论》
记 B 为一矩阵，使得 \mathcal{M}(B)=\mathcal{M}(A)^{\perp}, 则对任一 x \in R_{n}, 有分解x=A \alpha+B \beta, 这里 \alpha, \beta 为适当维数的列向量. 依定义, P_{A} x=P_{A} A \alpha+P_{A} B \beta=A \alpha,对一切 \alpha, \beta 都成立. 故正交家用投影阵 P_{A} 满足矩阵方程组 \left\{\begin{array}{l}P_{A} A=A \\ P_{A} B=0\end{array}\right. 由第二方程推得, \mathcal{M}\left(P_{A}^{\prime}\right) \subset \mathcal{M}(B)^{\perp}=\mathcal{M}(A) . 于是，存在矩阵 U, P_{A}^{\prime}=A U . 代入第一方程，得 U^{\prime} A^{\prime} A=A . 此方程组是相容的，由定理 2.2 .3, U=\left(A^{\prime} A\right)^{-} A^{\prime} . 于是 P_{A}=U^{\prime} A^{\prime}=A\left(\left(A^{\prime} A\right)^{-}\right)^{\prime} A^{\prime}=A\left(A^{\prime} A\right)^{-} A^{\prime} . 此处运用性质((A'A)^{-})'=((A'A)')^{-}=(A'A)^{-}.
定理4
P 为正交家用投影阵 \Longleftrightarrow P 为对称幂等阵.
证明：\Rightarrow 设P 为向 \mathcal{M}(A) 的正交家用投影阵，则 P_{A}=A\left(A^{\prime} A\right)^{-} A^{\prime}，对称显见。又有
P_{A}^{2}=A\left(A^{\prime} A\right)^{-} A^{\prime}A\left(A^{\prime} A\right)^{-} A^{\prime}=A\left(A^{\prime} A\right)^{-} A^{\prime}=P_{A}, \\
幂等性证毕。
\Leftarrow 见定理2.
定理5
设P_{1}和P_{2}为两个正交家用投影阵，则
P=P_{1} P_{2} 也为正交家用投影阵 \Longleftrightarrow P_{1} P_{2}=P_{2} P_{1}
证明：P=P_{1} P_{2} 为正交家用投影阵 \Longleftrightarrow P=P_{1} P_{2} 为对称幂等阵
以下证明P=P_{1} P_{2} 也为对称幂等阵 \Longleftrightarrow P_{1} P_{2}=P_{2} P_{1}
\Rightarrow P=P_{1} P_{2} 也为对称幂等阵，则有
P=P_{1} P_{2}=(P_{1} P_{2})'=P',
P^{2}=P.
即P_{1} P_{2}=(P_{1} P_{2})'=P_{2}'P_{1}'=P_{2}P_{1}.
此处运用了P_{1}、P_{2}为正交家用投影阵的性质。
\Leftarrow 由P_{1} P_{2}=P_{2} P_{1}，可知
P'=(P_{1}P_{2})'=P_{2}'P_{1}'=P_{2}P_{1}=P_{1}P_{2}=P \\P^{2}=P_{1}P_{2}P_{1}P_{2}=P_{1}(P_{2}P_{1})P_{2}=P_{1}(P_{1}P_{2})P_{2}=P_{1}^{2}P_{2}^{2}=P_{1}P_{2}=P. \\
故P为对称幂等阵。
综上，证毕。
关于斜交家用投影阵及二次家用投影阵的介绍放在下次推文中。
2 一点小总结
本次主要对正交家用投影阵进行了介绍，正交家用投影阵本身具有极为重要的地位，且根据之前介绍可以知道，正交家用投影阵与对称幂等阵具有等价性。
正交家用投影阵本身作为家用投影阵的一种，其具有一台极为优良的性质：正交性。
根据这个性质可以得到其与对称幂等阵的等价性，这个性质与卡方分布的产生具有极大关系，卡方分布一般正态分布以对称幂等阵为二次型矩阵的二次型所产生。
可以证明当二次型矩阵A为对称幂等阵时，由正态分布向量X所构成的二次型X'AX服从卡方分布。
在下次推文中，将对两类不常见的家用投影阵进行介绍：斜交家用投影阵、二次家用投影阵。 |
