引言
信号处理领域一台常见的问题就是信号复原。简单讲就是从被污染的信号或者采用不充分的信号中恢复出真实信号。在本文中我们将使用变分方法来解决该问题。我们可以对被噪声污染的信号进行如下数学表达：
U_0(x) = U(x) + n(x)\\
其中观测信号为U0，原信号为U，干扰源为零均值高斯噪声源n。
全变分复原模型的构造
- 全变分的形式total variation：（TV）
TV[U(x, y)] = \iint_\Omega|\nabla(U(x, y))|dxdy\\
可见对泛函U进行全变分，其本质是对泛函进行各向同性变分后的一范数进行全 \Omega 域求积分，故称为全变分。一种合理的全称可以为“全泛函一阶变分 L_1 范数求和”。
在图像复原方面仅仅对图像进行全变分限制还不充分，全变分限制没有对变分进行收敛性限定，其解空间无限。为了对解空间进行限定我们引出有界变分限定。
- 有界变分空间bounded variation：（BV）
BV(\Omega)=\{f:f\in L^1(\Omega) \& TV(f < \infty )\}\\
- BV范数: ||f||_{bv} = ||f||_{L_1} + TV(f)\\
BV(\Omega) 在 BV范数下是巴拿赫空间 (巴拿赫空间是一台具有范数并对此范数完备的向量空间)。
高斯噪声特性来对图像恢复问题的约束条件：
- 积分零均值： \iint_\Omega U_0(x) dxdy= \iint_\Omega U(x)dxdy
- 方差噪声: \frac{1}{\Omega}\iint(U(x,y) - U_0(x,y)) ^2dxdy = \sigma^2
有了解空间模型和约束条件，相应的我们可以构造能量泛函 J[u(x, y)] 从而将约束转换为优化问题：
首先我们希望解空间满足BV模型，即解出的 U(x, y) 需要满足TV范数: J[U(x, y)] = TV[U(x, y)] = \iint_\Omega|\nabla(U(x, y))|dxdy\\
为了加入约束条件我们使用泛函拉格朗日乘数法引入 \lambda
其次要符合零积分均值特性1：
J[U(x, y)] = \iint_\Omega|\nabla(U(x, y))|dxdy + \lambda [\iint_\Omega U_0(x) dxdy - \iint_\Omega U(x)dxdy]\\
同时要符合方差噪声的特性2：
J[U(x, y)] = \iint_\Omega|\nabla(U(x, y))|dxdy + \lambda_0 [\iint_\Omega U_0(x) dxdy - \iint_\Omega U(x)dxdy]\\ +\lambda_1[\frac{1}{\Omega}\iint(U(x,y) - U_0(x,y)) ^2dxdy - \sigma^2]
总结:
本文中我们通过引入TV模型以及通过分析原信号U和污染噪声的关系构造了基于TV模型的图像恢复模型。只需最小化能量泛函J即可解出符合TV范数空间的最优模型U。
下一篇文章中我们将对泛函式进行求解。
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