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wildworf
| 来自北京
关于向量的射影/投影，会涉及到向量向直线，平面和三维空间的射影。首先我们来看第一个例子，是关于一个向量向另一个向量的射影。
例1. 求向量 向 所在直线的射影：
什么是射影？参考下图，可以看出，光从上向下照， 就是 向 所在直线的射影。
v2向v1所在直线的射影演示图
那么应该如何计算 ？
具有的方向 和 的大小（这里 为向量 的夹角），那么
（1）我们可以先计算一个的方向上的单位向量（长度为1的向量）也就是 ；
（2）让这个向量乘，也就拥有了 的大小；
所以 就是我们的射影。
除了这种方法，还有另一种计算射影 的方法是通过正交基底的概念。
首先，大家首先思考一下 的坐标为何要叫 ，有些同学说：这不是废话么，括号里面都写着 和 。但是实质上坐标的概念并非是大家看到的那样，而是因为这个向量放在和为基底的坐标系里，我们可以分解为, 这里的两个系数的 和 才是坐标。
如果我们换一个基底，将基底定为 和 ，那么 ，这个时候坐标变为 。那这个向量的坐标究竟是还是 ？ 这取决于基底的选择。为了更好理解这点，我们打个比方：
老周在家从来不干活儿，被家里人鄙视地称作“老大爷”； 但是到了学校，每天挨揍，被同学们成为“小老弟”； 那么老周究竟是“老大爷”还是“小老弟”？我们说在不同的场合，老周有不同的称谓。 这里的向量也是如此，在和为基底的坐标系里坐标为 的向量在 和 为基底的坐标系里坐标为。
不同基底下，同一个向量的坐标不同
那如果是求一个向量 在 ，和 为基底的坐标，我们就是假设 ，
通过这种解方程的方法我们可以确定向量在这组基底的坐标。
但是如果空间有一组正交基底 , 我们让这个空间的某个向量 分解到这组正交基底 ： ，这时候坐标 相比上面的求法会更容易求解。
比如：如果想要计算 ，我们可以选择两边同时内积 ，那么
可以求出 , 同时我们能计算出 和 。
那这个和基底是什么关系呢？
我们可以创造一个与 垂直的向量且在向量 和 所在平面内的向量 ，不用在意这个 方向朝上还是朝下，或者长度多长，因为它只是一个“工具人”，最后不会涉及到它的计算。
这时的向量 和 能构成一组正交基底，让向量 分解到 和 两个基底，也就是 。
通过下方的图像，我们很容易观察到，此时 向 向量所在直线的射影就是 。因为 一般是已知的，所以要想求出射影，只需要求出 即可。
而这里计算 的方法也是类似上文中两边同时内积 可以得到 ，代入到 可以得到射影也是 。
那为什么要讲这个第二种方法？是因为后续我们会拓展到更复杂的向二维空间，三维空间的投影，如果用第一种方法是无法计算出来的。
接下来，我们进一步拓展，把这个问题延伸到向二维空间的射影，具体形式如下：
升级版 ：向量 向两个向量 和 所在平面的射影，且此时 垂直。
我们可以采用类似上面的第二种方法来计算这个问题：
假设与 ， 垂直的向量且在向量 和 所在空间内的向量 , 那这时候 ，与 构成空间的一组正交基底，因为 在这个空间，我们可以将 分解到这三个基底上，分量分别为 , 和 ，从下图很容易理解：
v3向v1和v2组成平面的射影
，而此时射影就是 。因为 和 是已知的，所以我们只需要求系数 即可。而系数的求法和之前的方法一致：
先通过两边内积 的方法可以计算 ，再通过两边内积 的方法可以计算 。所以这个时候的射影为 ，我们可以发现，原来这个时候向平面的射影刚好是向两个正交基底 和 的射影的和。
鉴于升级版 的特殊性 ，即 和 刚好是互相垂直的。那如果不是互相垂直，也就是我们下面这个升级版 的情形，应该如何解决呢？
升级版 ：向量 向两个向量 和 所在平面的射影，且此时 不垂直。
如果不垂直，我们的方法是将两个向量 和 在不变其所在平面的情况下变垂直。然后再将向量 向新的互相垂直的基底所在平面射影
而这种变垂直的方法叫做施密特正交化。
首先将 向量分解到 方向和与 垂直的方向分解，如下所示：
v2，v2*和v2’三者的关系
其中 向 方向分解的分量就是之前提到的向量 向 所在直线的射影 ，而这里我们可以得到图中的 （ 分解到与 垂直的方向的分量）就是与 垂直的向量，所以施密特正交化的过程为：
step1：保持不变；
step2：将 变成 ；
接下来步骤就会变得简单了，和升级版 是完全一样的，我们要求的射影就是向量 向两个向量 和 分别射影的加和即 。
升级版 ：向量 向三个向量 ，， 所在空间的射影，且此时 , 互相垂直。
因为这次是四维空间，所以我们无法画图。这里因为 , 是互相垂直，故类似升级版 ，那结果就是向, 分别射影并加和即。
升级版 （最终boss）：向量 向三个向量 ，， 所在空间的射影，且此时 , 不是互相垂直。
这里效仿升级版 ，我们的主要思想也是先让 ，， 在不变空间的情况下变得互相垂直，这次我们涉及三个向量的施密特正交化。
三个向量的施密特正交化示意图
我们会进行两次施密特正交化，第一次是将 ， 变垂直变为 和 ，这个步骤与上面的两个向量的正交化完全一致。(在上图的图一有显示）
第二次施密特正交化是将第三个向量 向 和 所在平面分解和垂直这个平面的方向上分解，我们只需要垂直于这个平面的向量的分量。所以我们让向量 减去 向 和 所在平面的射影即 （因为此时 和 互相垂直，根据升级版 很容易得到）。（在上图的图三有显示）
step1：保持不变；
step2：将 变成 ；
step3：将 变成 ;
经过这三步后，向量 变成了新的互相垂直的向量 ， 和 。再让 向新得到的三个向量分别射影并加和就能得到最终结果 。
那如果拓展到向四个，五个向量所在空间的射影，那就是类似上面的方法：先施密特正交化，然后再对每个新的垂直的向量射影相加即可。 |
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