标量的梯度描述的物理意义是指什么？矢量有没有梯度？如果有 ..._ZNDS问答

hsulun2000

标量的梯度描述的物理意义是指什么？矢量有没有梯度？如果有 ...

还在自学电磁场，远没到张量相关。这也是自己思考的问题，所以浅显的说下。
一个实函数表示数量场，它求梯度变为矢量场，即3个实函数有序组合。
矢量场的数学模型就是3个实函数有序组合，对它求梯度，就是对它的3个实函数分别求梯度，最后得到的是9个实函数的有序组合。这不能用矢量函数来描述，正好有数学中有张量适合它。

高赞答主 @BigZi的回答不错，我想稍做补充，没什么高深理论，画几个图方便理解。

维基百科上关于矢量用的这个配图，是标量场  的梯度矢量线图像，将等值线与梯度矢量线进行比较可以看出：标量场的梯度场是一个矢量场，矢量线与标量场的等值线垂直。
根据梯度的定义我们知道，梯度的方向是某点处变化率最大的方向，大小等于变化率，也就是最大的方向导数。
维基百科还提到可以用一座山来类比，所以我们可以画这样的三维图：

将标量场画成一个曲面，然后在曲面的不同位置沿梯度方向画切向箭头，箭头是从谷底向顶峰方向的，也就是函数增大最快的方向。
像这样的标量场其实就是这个梯度场的势函数，我们可以用重力势能来理解一下，假设有一处地形就如图中曲面形状，由于重力势能与高度一一对应  ，所以地形图就是这个重力势能场的图像，那么梯度就是  ，也就是重力mg乘以高度的方向导数，相当于就是重力在梯度方向的分力。
想象一个小球放在斜面上，它会向哪个方向运动呢，很显然是梯度的反方向，也就是重力势能减小最快的方向。
（补充一个题外话，经常在知乎看到有人问关于科学研究意义的问题，有人觉得是研究事物变化的原因，有人觉得是研究事物变化的规律，其实这个例子就可以思考，如果说原因，小球是因为受力而向下运动，还是因为重力势能减小最快而向下运动呢？是力产生了势能场，还是势能场产生了力呢？其实只是从不同角度描述规律而已。）
然后是矢量场的梯度。
上边的梯度场  就是一个矢量场，可以写成两个方向的分量：

这两个分量都是标量，自然都可以求梯度，得到

也就是说矢量的梯度，需要用并矢，也就是一个二阶张量

注意这两个哈密顿算子并非叉乘或点乘，并不能写成拉普拉斯算子
这个张量图想不出特别好的表示方法，我用两个矢量图叠加来表示一下吧：

之前写过以应力作为例子介绍张量的一篇回答，没有听说过张量的可以看一看：
物理量上有没有既不是矢量也不是标量的？对于张量的图像，如果有更好的表现方法，欢迎指导。

温度是标量场，它的梯度就是热流（矢量）。
其他的就都懂了吧！

标量的梯度可以认为标量在给定坐标系下的变化率，数学上简单讲就是这个标量对于坐标的导数。nabla是一个矢量算符，直接作用在矢量上会产生一个二阶张量，其物理意义就是这个矢量的各个分量在给定坐标系下的变化率，对于三维空间来说，梯度算符作用在矢量上会产生九个量，可写成一个矩阵，这九个量就是矢量的三个分量在三个坐标方向上的变化率。以此类推，梯度算符作用在二阶张量上会得到一个三阶张量。

原回答漏洞百出，感谢评论区各路大佬的纠正，感觉有许多要补充完善和更正的地方，于是将原答案重新编辑了一下。——03.01
如有哪些不正之处，欢迎指出
<hr/>标量场的梯度还是很好理解的，它表示了标量场在某个场点上变化率最快的方向和该点的最大变化率，wiki百科是这样描述的：

维基百科：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A2%AF%E5%BA%A6#.E5.AF.B9.E5.90.91.E9.87.8F.E7.9A.84.E6.A2.AF.E5.BA.A6

来看一个最常见的例子：电势  也就是说，某点的电场方向是电势降落最快的方向。
引入梯度可以很简洁的由标量场计算出它的变化率场（瞎取的名字，大概就那个意思），物理中在处理场的问题时经常会碰到求变化率的操作，所以梯度也经常用到。
再举几个标量场梯度的例子，比如载流线圈磁场：

在推导电偶极子电势时也会用到梯度：由负电荷指向正电荷（  ）
为了更好地理解梯度，个人感觉有必要介绍一下点乘的矩阵乘法表述：
设在三维空间中有两个向量  ，在矩阵乘法中这两个向量分别代表两个3x1的矩阵（列向量）可以写为：  那么它们之间的点积可以表示为：  利用转置矩阵，还可以写成：
引入梯度后可以很方便地求出相邻两点的强度之差，设标量场为  ：
用矩阵乘法表示为：
这意味着标量的梯度的转置矩阵与坐标微元向量的积等于相邻场点的微元增量。标量梯度表征了标量场在全空间的一种类似于导数的特征（导向量？/滑稽/）
矢量场也是有梯度的，不过对矢量场求梯度会得到一个二阶张量。不妨设在直角坐标下有一矢量场  ，有  。
根据wiki百科的定义：

维基百科http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A2%AF%E5%BA%A6#.E5.AF.B9.E5.90.91.E9.87.8F.E7.9A.84.E6.A2.AF.E5.BA.A6

的梯度可以表示为：
在解释矢量场梯度什么物理意义之前，我还想补充一下雅可比矩阵的知识。还是用  做例。
三维直角坐标下，一个矢量场可以看成是3个标量场组成
那么矢量场对空间微分相当于3个标量场分别对空间微分，即：

根据全微分公式：  同理  ，代入有：  写成列向量表示：  可以看出可以用矩阵乘法表示：  其中我们把  叫做  的雅克比矩阵，记为  。
细心一下可以发现  是  的转置矩阵。
则
个人没有经过系统的矢量分析学习，我感觉矢量梯度的意义更突出在描述矢量场变化率上，可以用矢量场的梯度来表征这个矢量场在各点的变化率。举个例子：现在我们想求相邻两点电场强度的差值，于是就有：

<hr/>评论说的很对，如果是刚接触梯度，确实很难直接理解并矢和张量的概念。于是我觉得有必要介绍一下并矢和张量。
本人比较喜欢从例子引出概念，所以接下来的内容可能不会像大学课本那样严谨，但也许可能更通俗易懂。
引例：理想液体流速场中的压强
考虑在一个流速场中建立一个空间直角坐标系，  分别用  代替表示，先研究因液体流动产生的压力（静压强为0），画一个图：

穿过  的液体会产生一个附加压力：  在  内通过  的液体质量为：代入有：

根据帕斯卡原理，静压强在微元块每个面上的大小相同，那么对于下图中小微元块各个面上所受到的力有（用  表示各个面上的受力，  表示各个方向上的合力）：
由于  是一个空间中的速度，它有3个分量，并且  （同理剩下两个），于是可以得到合力的分量式：  引入爱因斯坦求和约定：  相同指标意味着对三个方向求和。则式子可以简写为：
如果我们直接套用压强的式子，会得到：  此处  和  不表示求和。
可以看到，这个式子是与微元块各个面元大小有关的，但很显然整个流速场的压强应该是与所取的微元块无关的，也就是说，普通的压强不再受用，我们尝试找到一个新的物理量来描述整个流速场的压强关系。观察一下（7）式，它既包含  又包含  ，而且还是线性组合，于是我们想到用矩阵运算来表达这个式子：

其中中间那个矩阵是与微元块无关的，于是可以用这个矩阵来描述流速场的压强。把这个矩阵记为：  （因为不知道怎么打双箭头，就大写加粗表示一下）
是克罗内克符号，当  时等于1，  时等于0。
如果我们想把这个式子写的漂亮一些，将其改写为：
其中  为单位矩阵。  是一个并矢，实质上是一个矩阵（就是上面的  ）
从这么来看，并矢的引入好像就是为了偷懒（实质上许多数学符号都是为了偷懒），它只是一种表达方式，为了方便代表一个由这两个矢量各个分量组成的张量。
从百度百科上扒了张图：

这只是我个人的理解方式，百度百科上有这么一段话：

根据Morse与feshbach所著作的教科书，在三维空间里，并矢张量A是一个3×3阵列，其分量，当从一个坐标系变换到另外一个坐标系时，遵守协变变换(covariant transformation)的定律。；其中，是变换后的分量。所以，并矢张量是一个二阶协变张量。反过来说，按照这定义推广，任意二阶协变张量都是如下并矢张量及其同类的和：

对于张量的理解，可以看一下这个视频，个人感觉讲的很通俗——【科普】什么是张量？
具体的严谨定义及相关内容本人也不是很懂，所以我只能分享我个人的见解，稍微介绍一下。

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