关于Shapley Value（夏普利值）的公式_ZNDS问答

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之前整理了关于shapley value的一些内容，参考：
对于shapley value的公式，并没有做详细的说明，这里整理下当前对公式的理解。
<hr/>夏普利值的是一种利益分配的方法，按贡献来评估如何分配利益，贡献越大，收益相对越多
Shapley Value有四个公理，简单描述如下：

1.对称性：合作获利的分配，不随每个人在合作中的记号或次序变化
2.有效性：合作各方获利总和等于合作获利
3.冗员性：如果一台成员对于任何他参与的合作联盟都没有贡献，则他不应当从全体合作中获利
4.有多种合作时，每种合作的利益分配方式与其他合作结果无关
from 百度百科

Shapley Value公式如下：
记 I=\{ 1,2,...,n\}为n个合作人的集合
\varphi_i(\upsilon) = \sum_{s\in {S_i}}^{}{\omega(|s|)[ \upsilon(s) - \upsilon(s  \backslash \{ i \})]}
其中， S_i 是I中包含成员i的所有子集形成的集合，|s|是集合s元素的个数，\omega(|s|)是加权因子
s  \backslash \{ i \}，表示集合s中去掉元素i后的集合
\upsilon(s) - \upsilon(s  \backslash \{ i \}) ，成员i在联盟中的贡献，即成员i的边际贡献；
\omega(|s|)，即权重 \omega(|s|) = \frac{(|s|-1)! (n-|s|)!}{n!}
夏普利值由两权重系数和边际贡献两部分构成
夏普利值的公式可以理解为：成员i的联盟会有很多个，我们列出包含成员i所有的联盟，然后依次计算每个联盟中，成员i的边际贡献，并将该边际贡献乘以该联盟出现的概率（权重），把结果值加起来就是成员i的夏普利值
这里的边际贡献还好理解，联盟的收益-剔除成员i后联盟的收益，即成员i对联盟带来的增益贡献（边际贡献）；
权重的公式一开始并没有理解，为啥这么算，找了很多的资料，才感觉好像理解了；
权重 \omega(|s|) ，从公式来看，只和联盟s的成员个数有关，分母 n! 表示n个成员的全排列，分子 (|s| - 1) ! (n-|s|)! 表示联盟s中除了成员i的排列数乘以联盟剩下的成员(n-|s|)要加入联盟s的排列数
一种更专业的表述：来自知网的一篇文章《Shapley值特点及其局限的讨论》

实例，依然使用上一篇提到的例子，，详细带入下公式

甲、乙、丙三人合作经商。倘若甲、乙合作可获利7万元，甲、丙合作可获利5万元，乙、丙合作可获利4万元，三人合作则获利11万元，每人单干各获利1万元。问三人合作时如何分配获利?

同理，可以带入求一下乙和丙的Shapley Value，算出甲、乙、丙的夏普利值后，就可以按照比例算他们三人的利润分配了

有些文章的公式是这样的：
也就是权重系数这里不太一样，一开始还以为哪个错了，实际上不是，这里的主要是联盟S是否包含成员i，这里的S是不包含i的，而文章中的公式是包含i的

想知道有效性是可证明的吗？

shapley值的四个公理是应用需要满足的前提条件吗？或者说，如果数据or情景不符合四个公理，则不能计算shapley值，计算了也没意义我理解的对吗

shapley值是满足这4个公理的唯一解，好像是可以证明的，可以找找看；如果不符合的话，应该不是没有意义，而是说不是唯一解，最优解（当前理解，非专业回答，还是要找找专业的书籍文章来看看哈）

公理是不需要证明的

遍历Si的时候，其实已经相当于遍历了全部组合，不明白为啥还要乘一个采样概率

我是这么想的: 尽管枚举了不同组合的不同内容, 但它们之间的概率仍是有差异的.

系数我是这么理解的, 先不管 s, i, F-1 这些不紧要的细节, 这个系数其实就是 C_F^S 的倒数.
Sigma 符号相当于一层 for 循环, 当 S 确定时, 它的出现概率解读为从 |F| 中挑 |S| 个特征的种类数, 而当前的 S 又是其中确定的一种, 所以概率就是 C_F^S 分之一.

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