观卿尤似周公瑾,闲茶无事做文章
透视家用投影推导过程很巧妙，使用很简单线性代数知识就可以，由于在渲染中有时候也需要通过屏幕空间坐标反推出世界坐标，理解它对这个也有帮助。今天打算手推一下这个矩阵，最后也会简单分析一下UE中家用投影矩阵的写法。
作用：
包含裁剪和屏幕坐标家用投影显示。
1 三维空间中，家用投影矩阵用来把摄像机坐标转为裁剪空间，继而通过透视除法，用来计算出物体在屏幕中的位置。家用投影的屏幕位置记做家用投影面。
2 用来做裁剪，也就是这个功能才让家用投影矩阵变的复杂起来。细想摄像机显示范围是有限的，而且屏幕的显示的范围也是有限的，应该让摄像机平阶头体范围内的物才显示才对,这样才符合实际情况，前面的世界坐标变化矩阵，摄像机坐标变化矩阵都不能完成这个任务,那么这个艰巨的任务只能而且只能由透视家用投影矩阵完成了。
因为要求在摄像机坐标点乘以家用投影矩阵后的xy坐标在一台限定了XYZ大小的范围内的才会渲染到屏幕上，其余的都被剔除了，这个范围也组成了所谓的裁剪空间，裁剪空间为了裁剪的时候计算省事，要求把它设置位一台立方体。在opengl XYZ方向都是【-w,+w】，而direcx3D XY 方向也跟opengl一样，只有Z轴上是【0 - w】，而透视家用投影的计算过程把这个过程合并到一起进行考虑，计算方法通过把摄像机平截头体的六个边（上下左右前后（也是一台立方体））映射到NDC 空间-1到1或者0到1当中。最终的NDC空间形状是一台2x2x2或者2x2x1立方体盒子。下图以opengl为例。
说明
在三维空间中，物体空间的坐标是一台XYZ，三个方向的点，家用投影矩阵一台4X4的矩阵（携带缩放，旋转，平移信息），根据矩阵乘法规则，与之相乘的坐标必须是一台4位的点，而通常三位坐标都是三个方向点顶值XYZ，为了不影响最后的计算结果，最后一位通常会设置为1，也就是组成所谓的齐次坐标。有了这些知识铺垫，配合上初中的三角形相似原理，和大学的简单的线性代数知识就可以推导家用投影矩阵了。
接下来先仔细介绍opengl 透视家用投影矩阵的推导过程，家用投影矩阵的最终计算结果是在NDC空间，opengl坐标系遵从右手定则，因此z轴正方面朝向屏幕向外，而摄像机的朝向是与z轴方向向反从指向屏幕里面，因此能看到物体的摄像机空间中z轴坐标都是负值，因此透视家用投影面的z坐标也是负值。
行距阵与列矩阵
由于opengl 与dx 对坐标系统的使用规则，矩阵的存储上也呈现转置关系。
行距阵表示：
矩阵按照行顺序来表示坐标轴：如下 红 绿 蓝 三个颜色分别代表X Y Z 三个坐标轴方向。
当进行齐次坐标变化的过程中，在矩阵乘法中按照向量*矩阵顺序即矩阵后置规则。
列矩阵表示：
矩阵按照列顺序来表示坐标轴：如下 红 绿 蓝 三个颜色分别代表X Y Z 三个坐标轴方向。
当进行齐次坐标变化的过程中，在矩阵乘法中按照矩阵*向量顺序，即矩阵前置规则。
值得一提的是不管使用行距在或者列矩阵，最后得到的结果必然是一样的，这可以通过改变矩阵的每一项目的存储顺序来实现，opengl 使用按照列优先存储，dx按照行优先存储，似乎矩阵前置更有利于CPU cache（因为每次取出的都是矩阵中连续的数据与向量相乘），但是在现代c++编译器优化的前提下，并不会有性能损失。
透视矩阵
家用投影计算：
把上图近平面看作家用投影面，需要的计算的家用投影点为E (Xe,Ye,Ze)家用投影后的点为P(Xp,Yp,Zp)，家用投影面z坐标值为-n（这里n并不一定表示近平面的z值，n>0），在Y轴与Z轴组成的平面当中，链接家用投影点与家用投影后的点必然相交于原点o由此形成的了两个三角形ΔYeZeO和ΔYpZeO根据三角形近似原理，Ye/Yp =Ze/Zp,进而得出，又 Zp= -n, 由于Zp是负值，Yp>0, 所以Yp=-n* Ye/Ze.同理也可以推导出Xp=-n* Xe/Ze.
根据opengl矩阵列矩阵相乘规则：矩阵前置先乘， P = M * E.
因此可以将家用投影点的Z坐标当作Wclip。
那么，矩阵M的最后一行就可以确定了：
下面就是计算M矩阵前三行的方法了，无它，唯映射尔，而透视家用投影矩阵的复杂计算也就是浓缩在这个映射过程里面了，这个过程涉及到的数学可以说很简单，只需要初中的水平就可以了。
首先因为最终的NDC坐标空间XYZ范围为[-1,1]，那么使用线性映射方法：
根据图1，左面截面和右边截面，对应的X值坐标l,r 经过家用投影后对应的坐标分别为-1和1，那么经过家用投影后的P点会被映射到NDC空间。
l≤Px≤r.
下面是计算过程，这个计算过程很巧妙，不觉梦回初中，想起了初中同学为了靠近我，故意装作是请教我数学题的场景，那是一台深秋的夜晚，皓月当空，空荡荡的教室里…
差点跑题，我写下
看到这里如果大脑可以飞速运转的话对着M矩阵，按照先行号后列号的顺序，从0到4，应该可以想到
因为包含了透视除法的原因，上面的M00应该乘以-Ze(w=-Ze)，所以最终M00应该为2n/(r-l)
同理：通过平截头体上部和下部，b与t计算出
矩阵M的第二行为M10 =0，M11 =（2n/(t-b)），M12=（t+b）/(t-b),M13=0；
到这里矩阵的前两行和最后一行都得出了。
剩下的只有矩阵的第三行的信息米有推导出来了，也不难，根据近平面远平面z坐标，最终范围为-1到1，并且z坐标的计算与X坐标和Y坐标无关，因此可以先写作
根据下面公式
得出矩阵为
又因为r与l对称，t与b对称，并且都是关于摄像机原点对称，因此r =-l，t =-b,
得出矩阵为：
家用投影矩阵正确使用姿势
但是正在的引擎当中很少通过设置t 、b、 l、 r、 n、 f，六个值去使用透视家用投影矩阵的，而是使用叫做FOV的东西和n 、f、 与屏幕的宽高比简写Asp，来控制使用家用投影矩阵
由于t与b表示屏幕的高度范围，l与r表示屏幕的宽度范围。FOV表示摄像机当前范围内的视野，它一般通过结合近平面距离来计算到t和b，那么通过屏幕的宽高比再计算另外的两边l和r或者先计算l和r然后通过屏幕的宽高比再计算另外两边t和b，前者叫做FOVY 后者叫做FOVH，绝大多数情况下都是使用FOVY。由于FOVH与FOVY原理一样，只不过是计算竖直方向与水平角度张开角度问题，那么就只介绍FOVH就可以。
FOVH
家用投影面的侧面,上面为top，底部为bottom。
根据三角函数知识，
在保持n 不变的情况下，它影响着top的值，也就是当前的平截头向上和向下张开的口径有多大。同时由于对称性质，bottom = -top.
所以：
屏幕宽高比
剩下还有l与r的值需要求出，其实也很简单，知道了屏幕的宽高比之后，就很容易算出表示宽度的两边 l 与r 了。
r = top∗aspectratio;
l =−top∗aspectratio
把t、b、r、l带入家用投影矩阵当中，最终的矩阵可以写为：
Z轴精度问题：
由于透视家用投影映射的关系， Pz =-A + B/-Ze，家用投影后的点与家用投影点倒数成正比，函数图如下：
随着z值增加在近平面范围内变化明显，精度比较高，在远平面变化不明显，精度比较低，因此远近平面差距越小越好。
Z fighting
在游戏中一台场景会很大，尤其是开放世界游戏中，远近平面距离距离会很远，甚至几万，在视线远方会出现剧烈的抖动，也就是我们熟知的Z fighting。 也正在由于这种情况的存在，在实际过程中经常解决方法是使用： Z reversed，也就是交换远近平面，NDC坐标中，近处是1，远处是0.
UE4 家用投影矩阵：
由于UE4的z坐标范围跟dx一样,从0到1。同时由于Z轴方向也不再是指向屏幕里面，Z值也不再是负值，因此矩阵左后一行那个-1需要换成1， 这样上面的A与B的计算如下：
同时由于与opengl矩阵乘转置关系，颠倒上面矩阵的行和列，因此最终矩阵为
UE4 透视家用投影矩阵
UE4中透视家用投影矩阵在 PerspectiveMatrix.h中.
UE4中有几种家用投影矩阵，除了反转z轴减少zfightting的，其他一些在屏幕的宽高比，FOV等做文章，其中的使用很有讲究，其中的细节目前刚接触还么有深入研究，先记录一下留待以后再详细说明，目前发现UE4 中按照是否反转z轴有两大类透视家用投影矩阵，其中每一台类中又根据参数类型不同分为三种。 其中两大类的三小种除了反转z轴其中它参数都一样，反转z轴，就是颠倒一下进平面与原平面。
对于矩阵第三行第三列值，和第四行第三列，中，当进平面与远平面的距离相等分母为0的情况，不反转Z轴时候，设置值为1.0 减去一台很小值Z_PRECISIO（默认为0），同时保证要和common.usf中的值匹配。反转z轴时候直接设置值为0.
不反转z轴
反转Z轴
透视矩阵1
MinZ 表示进平面，MaxZ 表示远平面，FPlan（16位对齐，占16字节）继承与FVector（4位对齐，共有12字节），同时多了一位w，用来保存x*x + y *y + z*z 的大小。使用了水平FOV和竖直FOV。
实际使用中发现 UE4中使用该透视矩阵的时候必须设置进平面等于远平面距离，否则渲染出是黑屏，这点我是很想不到，应该是我有什么地方还没有了解到。他除了设置水平fov，竖直fov(几乎两者是相等的)它还设置MultFOV和竖直MultFOV两个参数用来更加精细控制屏幕宽高比.
透视矩阵2
这里是使用当前的viewport的宽度和高度来决定屏幕的宽高比把上面推导的家用投影矩阵中asp 改为高度/宽度，其他没什么可解释的。
透视矩阵3
也是根据高度/宽度来决定屏幕的宽高比，是第一种透视矩阵的特殊情况下（即HalfFOVX =HalfFOVY, Minz = Maxz情况下）的矩阵。
Ref
http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html#ortho
https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/perspective-and-orthographic-projection-matrix/projection-matrices-what-you-need-to-know-first
https://github.com/EpicGames/UnrealEngine |
用Deepseek满血版问问看
