线性方程 是稳定状态的问题，特征值在动态问题中有着巨大的重要性。 的解随着时间增长、衰减或者震荡，是不能通过消元来求解的。接下来，我们进入线性代数一台新的部分，基于 ，我们要讨论的所有矩阵都是方阵。
1. 特征值和特征向量
几乎所有的向量在乘以矩阵后都会改变方向，某些特殊的向量 和 位于同一台方向，它们称之为特征向量。
数字 称为特征值。它告诉我们在乘以后，向量是如何被拉伸、缩小、反转或者不变的。意味着特征向量存在于矩阵的零空间中。任意向量都是单位矩阵的特征向量，因为 ，其特征值为 1。
要计算特征值的话，我们只需要知道 即可。
如果乘以的话，我们仍然得到，任意的乘方仍然得到 。如果乘以的话，我们得到 ，再乘以我们得到 。
当被平方的时候，其特征向量不变，特征值也变为平方。 这种模式将会继续保持，因为特征向量一直待在他们自个的方向，不会改变。
其它向量都会改变方向，但它们可以表示为特征向量的线性组合。
当我们将这个向量乘以后，每个特征向量都乘以了它们对应的特征值。
利用这个特性，我们可以进行 99 次乘法。
特征向量处于稳定状态，因为 ，所以它不会改变。特征向量处于衰减状态，因为 ，乘方次数很大时，它就相当于消失了。
上述这个特殊的矩阵是一台马尔科夫矩阵，它的每个元素都为正并且每一列相加之后和为 1，这保证了它的最大特征值为 1。
对于家用投影矩阵，它的特征值为 0 和 1。对应于稳定状态，家用投影矩阵将列空间的所有向量都家用投影到列空间中去，也即或是它自身， 。对应于零空间，家用投影矩阵将零空间的所有向量都家用投影到零向量， 。
对于镜像矩阵，它的特征值为 1 和 -1。说明乘以矩阵后特征向量不变， 说明乘以矩阵后特征向量变为相反方向。
同时，由于 ，因此家用投影矩阵和镜像矩阵有着相同的特征向量。如果 ，那么
2. 特征值的计算
如果上述式子有非零解，那么 是奇异的，也就是行列式为零。因此，我们先通过下式求出特征值。
然后，针对每个特征值，再通过求解 来找到特征向量。
一些 矩阵可能只有一台特征向量，这时候，它的两个特征值相同。同理， 的矩阵如果没有个线性不相关的特征向量，那么就不能将任意一台向量都表示为特征向量的线性组合。
消元过程通常会改变矩阵的特征值，三角型矩阵 的对角线元素即为特征值，但它们不是矩阵的特征值。
但是，我们可以从矩阵中很快地就发现特征值的乘积以及和。
个特征值的乘积就是矩阵的行列式值。个特征值的和就是矩阵个对角线元素的和。
主对角线上元素的和称为矩阵的迹（trace）。
另外，特征值也可能会不是实数。
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