功率谱密度如何理解？_ZNDS问答

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一台随机的波，我们可以进行时域分析，也可以频域分析，有时也要看功率谱密度，这个功率谱密度如何理解？

本文介绍功率谱估计中经典谱估计的自相关法方法。

图1

图2

这里所说的谱密度，就是指在频率固定，比如f=1,2,3.......得出的相应的X(w)的值。

图3

图4

图5

图6

图7

图8

这一步往下，很多教科书和网络上给出的证明似乎都没怎么说清楚，本文说明如下：

图9

图10

图11

首先将图5和图11进行对比，图5中

的积分限都是从（-T,T）,由于是二重积分，所以其积分的范围就是图10中的矩形，其面积等于2T*2T,而积分变量改变以后，图10中右边矩形的面积等于左边矩形面积的两倍，所以图11中

图12

积分的时候在

的前面都乘以了1/2。里面还有一步，就是图12如何变为

这里面只要把

为正负值的时候分别代入

这个积分限就可以还原。其实不合并积分限也可以，图11的证明关键是用到了

这个结论，不合并积分限同样可以用到。
从上述证明可以看出，整个证明的思想是把图5中的双重积分变成图11中的单重积分。
这就是著名的维纳辛钦公式。

说到功率谱密度，那就不得不提功率谱，能量谱密度，频谱，频谱密度的概念。
我最近也写过类似的文章，文章介绍了集中“谱”的基本概念，可以作为一种基础知识了解。
<hr/>1Ω的电阻

我们为什么关注一个1Ω的电阻呢？图1
就是因为它是1，所以在计算中可以省略。

图1 1Ω电阻两端的电压信号x(t)

给定一个1Ω的电阻，其两端电压为V，电流为I，那么在时间T之内，电阻消耗的能量Er为：

那么电阻在单位时间内消耗的能量，我们称之为瞬时功率Pr

看到没，平方！这就是很多教科书求功率能量时候，为什么一上来，就喜欢平方！
现在我们把电压换成普通信号x(t)，x(t)随着时间t变化。
那么现在信号的功率为Px

在时间T内，信号的能量可以表示为Ex

把这里时间变化区间改成∞，也就是积分上下限，改为为-∞到+∞，可以定义为一般信号的能量E：

如果E存在为一个正的有限值，我们把x(t)叫做能量信号。
现在定义信号x(t)的平均功率为P，能量除以时间就是功率

若第一个极限E存在，即称为能量信号;
若第二个极限P存在，则称为功率信号。
这个2个公式适用与普遍的信号的，一个不存在，就试试另外一个！
一个信号可以既不是能量信号，也不是功率信号，但不可能既是能量信号，又是功率信号。

在实际的通信系统中，信号都具有有限的发射功率、有限的持续时间，因而具有有限的能量E。但是，若信号的持续时间非常长，例如广播信号，则可以近似认为它具有无限长的持续时间。此时，认为定义的信号平均功率是一个有限的正值，但是其能量近似等于无穷大。我们把这种信号称为功率信号。

能量与功率信号举例

首先先看阶跃信号与绝对指数信号，见图2

图2 左边为阶跃信号，右边为绝对值指数信号

阶跃信号u(t)
根据能量与功率公式，可以计算出

能量E无穷大，功率P为1/2，所以阶跃信号为功率信号。
“绝对”指数信号e^|2t|
根据能量与功率公式，可以计算出

能量E为1/2，功率P为0，所以绝对指数信号为能量信号。
复指数信号e^(-jwt)
根据能量与功率公式，可以计算出

功率P为1，能量E为无穷大，所以复指数信号为功率信号。

图3 复指数信号的三维图

现在我们来自己动手算一个信号f(t)=e^(-2t)，它是什么信号呢？

图4 指数函数e^-2t

功率信号与能量信号小结

对于无限长时间的周期信号，均为功率信号；
对于非周期信号，再分为三种情况，见图5所示

图5 能量信号与功率信号的常见形式，来源网络

功率信号的频谱

功率信号，尤其是周期性的功率信号，它的频谱就是我们熟悉的傅里叶级数。
设一个周期性功率信号s(t)的周期为T0，则将其频谱(frequency spectrum)函数定义为下式积分变换。其中f0=1/T0，n为整数，C(nf0)表示C是nf0的函数，并简记为Cn。

图6 功率信号的频谱

当n=0时，C0表示频率为0的分量，即是直流分量。
上述的公式同样适用于非周期的功率信号。
对于周期性的功率信号来说，其频谱函数Cn是离散的，只在f0的整数倍上取值。由于n可以取负值，所以在负频率上Cn也有值。
通常Cn为双边谱。

图7 周期信号的频谱

双边谱中的负频谱仅在数学上有意义。在物理上，并不存在负频率。
但是我们可以找到物理上实信号的频谱和数学上的频谱函数之间的关系：
C-n = Cn*
即负频谱和正频谱的模是偶对称的，相位是奇对称的。
对于非周期的功率信号，可将其周期看作是无穷大，然后再用图X中的公式去计算。
能量信号的频谱

能量信号的频谱，就是其傅里叶变换。
设一个能量信号为s(t)，则将它的傅里叶变换S(f)定义为它的频谱密度(frequencuy spectrum density)

图8 能量信号的频谱密度

能量信号的频谱密度S(f)和周期性功率信号的频谱Cn的主要区别：
S(f)是连续谱，Cn是离散谱
S(f)的单位是V/Hz,Cn的单位是V
能量信号的能量有限，并分布在连续频率轴上，所以每个频率段f上信号的幅度是无穷小；只有在一小段频率间隔df上才有确定的非零振幅。
功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限多的离散频率点上有确定的非零振幅。
一般，讨论能量信号的问题时，频谱密度也会常常成为频谱。
频谱密度和频谱这两个概念，在一般的教材上，不做严格区分！
能量信号的能量谱

能量是守恒的，不会管你变换来、变换去。所以，不管是在时域还是频域，能量守恒。
这也是巴塞伐尔定理，见图X中E和ET的公式
能量信号s(t)，其傅里叶变换为S(f)。
在频率轴上取一小块频率△f，然后|S(f)|^2△f就是这一块频率对应的能量。
那么在频率轴f上的积分，就是信号的能量E。见图9的上半部分。

图9 能量信号的能量谱密度

G(f)就是能量谱密度。

如果信号是能量信号，通过傅里叶变换，就很容易分离不同频域分量所对应的能量，频率f对应的能量为: df = |X(f)|²d(f)，对f积分就能得到信号的总能量，由此， |X(f)|² 就定义为能量谱密度，也常简称为能量谱，意为能量在某一频率上的分布集度或，量纲是J/Hz 。

功率信号的功率谱密度

由于功率信号具有无穷大的能量，所以按照能量E的公式，这个积分是不存在的。
但是我们可以把这个信号截断成小块。
例如，把信号s(t)截断成一个截短信号sT(t),-T/2<t<T/2。
这样sT(t)就是一个能量信号了，我们利用傅里叶变换可以求出其能量谱密度|ST(f)|^2。
根据巴塞伐尔定理，我们可以定义功率谱密度(PSD，power spectrum density)

图10 功率信号得到功率谱密度

图10中P(f)就是定义的功率谱密度。
功率谱密度在频率轴上积分，T趋向无穷大，就是信号的功率。
有上述的内容可知，功率信号一般为周期信号，也是非周期的形式。
功率信号具有周期性

如果这个功率信号恰巧是周期信号。
生活中最常见。
可以将T选作等于信号的周期T0，并且用傅里叶级数代替傅里叶变换，求出信号的频谱

图11 巴塞伐尔定理

Cn为此周期信号的傅里叶级数的系数。若f0是此信号的基波频率，则Cn是此信号的第n此谐波的振幅；
|Cn|^2为第n次谐波的功率，可以称为信号的（离散）功率谱。
注意，这里是功率谱，而不是功率谱密度！
如果还想用功率谱密度表示此离散谱，可以利用δ函数的性质

图12 周期性功率信号的功率与功率谱密度

高斯脉冲实例

这里我们举一个高斯脉冲的例子。
高斯脉冲的傅里叶变换是可以手动计算得出的，各位小伙伴可以挑战一下，正确答案可以私信我哦。

这里直接给出结论，就是高斯脉冲的傅里叶变换仍然还是高斯函数形式。
我们先画出一个高斯脉冲，中心点在2.5ns处，幅度值为1V，窗口时间为5ns。
利用FFT函数，求出其双边幅度谱与相位谱。
见图13。

图13 高斯脉冲的双边谱

FFT计算的过程中，其实隐含着将这个高斯脉冲周期延拓的过程。所以这里的信号可以看作为周期性的，而且在每个周期内其能量是有限的。
所以，这里是周期功率信号。
由上文分析可知，其功率谱为频谱系数的平方，功率谱密度为单位频率处的功率，即df处的功率。
见图14。

图14 高斯脉冲的双边功率谱与密度

如果你看到这里，请帮助班长点个赞吧，欢迎您在评论区留言指正。

一、信号分析里的这些名词都是怎么来的？

　　对于任意的时间信号 x(t) ，这个信号可以是任意随时间变化的物理量，在对信号进行能量分析时，不加区分地将其视为施加在阻值是单位电阻，即 R = 1Ω 的电阻上的电流。基于此，这个单位电阻的能量属性，就视为这个信号的能量属性。
　　所以，信号的总能量 W 就是：

　　同时，能量也可以在频域表示：

　　相应地，信号的平均功率 P 就是：

　　当然，对不同的信号，上面两个定义中的极限并不一定存在，由此可以区分能量信号和功率信号。也就是说，第一个极限存在，即称为 能量信号，若第二个极限存在，则称为 功率信号。应该记住的一点是，一个信号可以既不是能量信号，也不是功率信号，但不可能既是能量信号，又是功率信号。

二、什么是谱密度？

　　如果信号是 能量信号，通过傅里叶变换，就很容易分离不同频域分量所对应的能量，频率 ω 对应的能量为: dW = |X(ω)|²d(ω/2π)，对 ω 积分就能得到信号的总能量，由此， |X(ω)|² 就定义为 能量谱密度，也常简称为 能量谱，意为能量在某一频率上的分布集度或，量纲是 [U]²·sec/Hz 或 [U]²·sec/(rad/sec)，[U] 是 x(t) 的量纲。

　　如果信号是 功率信号，情况就稍微复杂一些了。这里先选取一个 周期功率信号，这个是十分容易的，一个有限长时间的信号进行周期延拓就可以得到了。
　　周期信号在时间上无始无终，能量必然是无限的，但功率可能是有限的。对信号进行傅里叶展开，可以写成：

　　或表示为复指数形式。

　　周期信号的平均功率只需要取一个周期进行能量平均即可得到，也即：

　　或：

　　利用二项式展开以及三角函数系的正交性，不难化简上式：

　　或

　　An 是周期信号中频率为 nΩ₀ 的谐波分量的幅值，Pn = An²/2 是频率为 nΩ₀ 的谐波分量的功率。所以结论就是：周期信号的平均功率等于各谐波分量幅值的平方和。容易理解，周期信号的功率是离散地分布在频率为基频 Ω₀ 整数倍的谐波分量上的。
　　如果以频率为横坐标，功率 Pn 为纵坐标，就可以得到功率随频率的分布。容易观察到，周期信号的功率谱频率分布是离散的，等间隔的，间隔长度就是基频 Ω₀ = 2π/T₀ ，如果将 Pn 在区间 [nΩ₀, (n+1)Ω₀] 平均化为 Pn/Ω₀ ，就可以得到一条频率连续的分布曲线 G(ω) ，其意义就是频率 ω 上的功率密度，也就是所谓的 功率谱密度，量纲是 [U]²/Hz。功率谱密度曲线的对频率积分就等于平均功率 P，即：

　　实际上，如果引入冲击函数 δ(·)，功率对频率微分也可得到周期信号的功率谱密度，功率谱密度在基频整数倍为脉冲形式，即 G(ω) = ΣPnδ(ω-nΩ₀)，同样满足功率谱密度的积分就等于平均功率 P。
　　以三角函数对功率展开, 幅值 An 为实数，n 仅取正值，功率谱密度 G(ω) 为单边功率谱，如果以复指函数形式对功率展开，系数 Cn 为复数，而 n 取全体整数，功率谱密度 S(ω) 为双边功率谱，二者关系为：An = 2|Cn| = 2|C₋n|，G(ω) = 2S(ω)。

　　下面考虑 非周期功率信号，这类信号也非常常见，如平稳随机过程。
　　非周期信号可以用周期信号的思路来推广，相当于周期信号中的周期 T₀ → ∞ 。
　　周期趋近于无穷意味着基频（离散谐波的频率分布间隔） Ω₀ → 0 ，离散的谐波功率谱线趋于连续。同时，傅里叶系数 An 也趋于 0，也就是说，在谐波功率谱线的图形中，所有频率的谱值 Pn 都是无穷小，注意到，功率谱的频率密度 G(ω) = Pn/Ω₀ 却为有限值，可以用于描述功率的频率分布。
　　通过对信号的截断也容易理解非周期信号的功率谱密度。功率信号 x(t) 无法直接进行傅里叶变换，但通过对信号截断，则截断后的 [-T, T] 上有限时长的信号 x₀(t)则为能量信号，可进行傅里叶变换，得到截断信号 x₀(t) 能量的频率表示 |X₀(ω)|²。随着截断时间 2T 趋于无穷，截断信号 x₀(t) 逼近功率信号 x(t)，能量谱密度 |X₀(ω)|² 趋于无穷，而其时间平均则为有限值，也即功率谱密度 G(ω) = lim(1/2T)|X₀(ω)|² 。

在频谱分析中幅度和功率是由紧密联系的两个不同的物理量：能量能表述为幅值的平方和，也能表述为功率在时间上的积分；
功率谱密度，是指用密度的概念表示信号功率在各频率点的分布情况，是对随机变量均方值的量度，是单位频率的平均功率量纲；也就是说，对功率谱在频域上积分就可以得到信号的平均功率，而不是能量。能量谱密度是单位频率的幅值平方和量纲，能量谱密度曲线下面的面积才是这个信号的总能量。
于是，功率谱、能量谱、幅值谱之间的紧密关系主要表述为：
能量谱是功率谱密度函数在相位上的卷积，也是幅值谱密度函数的平方在频率上的积分；
功率谱是信号自相关函数的傅里叶变换，能量谱是信号本身傅立叶变换幅度的平方

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功率谱密度如何理解？

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