最近工作中遇到一台问题，需要将点从球面家用投影到平面上。现将解决问题的过程记录下来，以备查阅。
1.局部家用投影
如果是将局部球面家用投影成平面，可以直接家用投影。常用的家用投影方式有两种，第一是中心家用投影，即从球心O发出射线经过球面上的点P并与家用投影面相交于P'，P'即是点P的家用投影。第二是平行家用投影，如果家用投影面与球面相切于点Q,则用沿OQ的一束射线照射家用投影面，相应的球面上的点在家用投影面上也会有对应点。可以证明平行家用投影的变形比中心家用投影小，所以下面的家用投影采用平行家用投影。
局部家用投影的关键在于确定家用投影坐标系。
（图片引用自https://blog.csdn.net/davidhopper/article/detAIls/79162385）
如上图，选定了球面上的家用投影原点(map origin)后，局部坐标系可以按三个方向确定：（1）z轴：map origin 指向球心（图中没有画图来）；（2）y轴：该点在原坐标系中沿经线方向的切线；（3）x轴：按与z轴、y轴两两垂直的关系，求出x轴。
下面直接给出结论：如果在单位球面（球心坐标（0,0,0）,球径r=1）上一点P的经、纬度分别为  和 ，则该点处的局部参考系为  ,  ,  .可以验证上述  轴互相正交，且均为单位向量。
确定好局部坐标系后，要求原坐标系中一点在新坐标系中的位置，只需要用原坐标乘以坐标转换矩阵即可。  ,变换后的坐标 
2.全局家用投影
此处全局家用投影是指将整个球面映射到平面上去。将整个球面家用投影成平面也有很多方法，但是都会产生或大或小的变形（因为平面是0曲率的而球面是有曲率的），这里介绍地图家用投影中常用的墨卡托家用投影法。
如上图（图片引自网络）， 墨卡托家用投影是等角圆柱家用投影。就地球而言，方法是：做一台圆柱面使之与赤道相切（这里忽略地球的椭球形，假设它是正球体），在地心放一台灯泡，发出光线穿过地面照射到圆柱面，于是地面上每一点在圆柱面上都有映射点。
这里有一台问题，高纬度地区的点经过映射后，成像点在圆柱面的很远处。简单计算可知，如果地球半径为  ,地面某点纬度为 ,以赤道作为映射后所得平面的 轴，则映射后该点距 轴的距离为
tan函数在 附近增长非常快，结果是两极附近距离无限放大。
为了缓解极点附近的畸变问题，墨卡托家用投影采用另一台函数替代了tan函数，替代函数为  .该函数在  附近与tan函数非常接近，而当 接近 时增长比tan缓慢，tan函数趋向无穷的条件值被推迟。
一般在使用时，规定替代函数的值域为  ,此时定义域(纬度值)的范围大致是（-85,85）度，即极点附近5度纬度的信息损失掉了，并且高纬度地区与实际相比仍然会有一定变形。尽管如此，墨卡托家用投影仍然是地图家用投影中最有影响力的，适用于航海图、航空图等。
由于规定家用投影后的y方向的值域为  ，而x（经度）方向是  ,区间长度相同。因此，地球经过墨卡托家用投影得到的平面图是正方形。 |
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