数学篇25-空间曲线家用投影方程，看完就会了_ZNDS问答

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科目：数学
知识点：空间曲线及其家用投影
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今天讲解空间曲线及其家用投影的相关知识点。

1. 空间曲线及其方程

1.1 空间曲线的一般方程

我们已经知道空间曲线可以看做两个曲面的交线。
设
$F(x, y, z)=0 \text { 和 } G(x, y, z)=0 \\$
是两个曲面的方程,则方程组

就是这两个曲面的交线的方程,该方程就是空间曲线的一般方程。

1.2 空间曲线的参数方程

空间曲线的方程除了一般方程之外,也可以用参数形式表示。
只要将上动点的坐标 $x, y$ 和表示为参数 $t$ 的函数：
$\left\{\begin{array}{l} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{array}\right. \\$

1.3 例题

如果空间一点在圆柱面 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 上,以角速度绕轴旋转,同时又以线速度沿平行于轴的正方向上升(其中和都是常数),那么点构成的图形叫做螺旋线.
试建立其参数方程.
解: 设当 $t=0$ 时,动点位于 $x$ 轴上的一点 $A(a, 0,0)$ .经过时间 $t,$ 动点由 $A$ 运动到 $M(x, y, z),$ 记在面上的家用投影为 $M^{\prime}, M^{\prime}$ 的坐标为 $x, y, 0 .$ 由于动点在圆柱面上以角速度绕Z轴旋转,所以经过时间 $t, \angle A O M^{\prime}=$ $\omega t .$ 所以
$\begin{array}{l} x=\left|O M^{\prime}\right| \cos \angle A O M^{\prime}=a \cos \omega t \\ y=\left|O M^{\prime}\right| \sin \angle A O M^{\prime}=a \sin \omega t \end{array} \\$
由于动点同时以线速度沿平行于軸的正方向上升,所以
$z=M^{\prime} M=v t \\$
因此螺旋线的参数方程为
$\left\{\begin{array}{l} x=a \cos \omega t \\ y=a \sin \omega t \\ z=v t \end{array}\right. \\$

2. 空间曲线在坐标面上的家用投影

2.1 含义

假设空间曲线表达方程为

消去后 (如果可能的话)所得的方程
$H(x, y)=0 \\$
所以方程
$\left\{\begin{array}{l} H(x, y)=0 \\ z=0 \end{array}\right. \\$
所表示的曲线必定包含空间曲线在面上的家用投影.
自然,包含曲线在 $yOz$ 面或 $xOz$ 面上的家用投影的曲线方程:
$\left\{\begin{array}{l} R(y, z)=0, \\ x=0, \end{array}\right. \\$

2.2 例题

已知两球面的方程为
$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \text { (1) } \\$
和
$x^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1 \text { (2) } \\$
求它们的交线在面上的家用投影方程.
解: 先求包含交线  而母线平行于轴的柱面方程.
因此要由方程(1)(2)消去，为此可先从(1)减去(2)可得:
$y+z=1 \\$
再以 $z =1-y$ 代人方程(1)或(2)即得所求的柱面方程为
$x^{2}+2 y^{2}-2 y=0 \\$
容易看出,这就是交线  关于  面的家用投影柱面方程,于是两球面的交线在  面上的家用投影方程是
$\left\{\begin{array}{l} x^{2}+2 y^{2}-2 y=0 \\ z=0 \end{array}\right. \\$
【注意】在重积分和曲面积分的计算中，往往需要确定一台立体或曲面在坐标面上的家用投影, 这时要利用家用投影柱面和家用投影曲线.
设一台立体由上半球面 $z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ 和锥面 $z=\sqrt{3\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ 所围成。求它在  面上的家用投影。
解：半球面和雉面的交线为
$C:\left\{\begin{array}{l} z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}} \\ z=\sqrt{3\left(x^{2}+y^{2}\right)} \end{array}\right. \\$
由上列方程组消去,得到 $x^{2}+y^{2}=1 .$ 因此交线  在  面上的家用投影曲线为
$\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}=1 \\ z=0 \end{array}\right. \\$
注意这是曲面的家用投影,而不是曲线的家用投影,所以曲面家用投影为该圆在面上所围的图形:
$x^{2}+y^{2} \leq 1 \\$
往期知识点-数学篇

列1
1.映射
4.函数极限性质
7.极限存在准则
10.微分中值定理
13.曲率
16.分布积分法
19.无界函数审敛法
22.平面方程
列2
2.函数特性
5.连续性与间断点
8.高阶导|莱布尼茨
11.洛必达法则
14.不定积分理解
17.不定积分技巧
20.微分方程基础篇
23.空间曲线
列3
3.数列收敛
6.最值|介值|零点
9.参数与隐函数
12.泰勒公式
15.换元积分法
18.反常积分审敛法
21.微分方程进阶篇
24.旋转曲面

投影有的写的是H（x,y）小于等于0有的是等于零，到底是啥

＜=0表示一个区域=0是一条曲线

如果消不了变量咋办[拜托]

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